具有拟周期强迫扰动的非线性偏微分方程不变环面的存在性研究

This project investigates the existence of invariant tori for nonlinear partial differential equations with quasi-periodically forced perturbations. We consider the following problems: (1) the existence of invariant tori for nonlinear Hamiltonian partial differential equations with quasi-periodically bounded perturbations, including Schrodinger equation, wave equation and beam equation; (2) the existence of invariant tori for nonlinear Hamiltonian partial differential equations with quasi-periodically unbounded perturbations, including Schrodinger equation, KdV equation and Benjamin–Ono type equation; (3) the existence of invariant tori for Ginzburg-Landau equations with quasi-periodically bounded or unbounded perturbations. We will use Nash-Moser iterative scheme and multiscale analysis for the inverse linearized operators , KAM iteration and Birkhoff normal form to study the existence of quasi-periodic solutions with frequency vector which is same as the forced term and with additional frequencies for the above equations.

本项目在已有研究工作的基础上，进一步深入研究具有拟周期强迫扰动的非线性偏微分方程不变环面的存在性，即拟周期解的存在性。主要研究下列问题：1、具有拟周期有界扰动的非线性哈密顿偏微分方程不变环面的存在性（包括薛定谔（Schrodinger）方程，波方程以及梁方程）；2、具有拟周期无界扰动的非线性哈密顿偏微分方程不变环面的存在性（包括薛定谔（Schrodinger）方程，非线性KdV方程，Benjamin–Ono型方程）；3、具有拟周期有界扰动或无界扰动的金兹堡-朗道（Ginzburg-Landau）方程不变环面的存在性。本项目试图利用改进的Nash-Moser迭代格式结合线性化算子的多尺度分析方法以及KAM迭代结合Birkhoff正规形技巧研究上述几类方程的频率与拟周期项的频率相同的拟周期解和具有附加频率的拟周期解的存在性。

该项目研究哈密顿力学和非线性振动中具有拟周期驱动系统的拟周期解的存在性，主要研究了下列问题：.1、研究了一类病态拟周期驱动广义Boussinesq方程在铰链边界条件下Liouvillean不变环的存在性以及拟周期驱动梁方程的具有Liouvillean驱动频率的Whiskered环的存在性的研究。2、研究了一类具有退化平衡点的高维拟周期驱动扰动系统在Brjuno-Russmann非共振条件下拟周期解的存在性和分支以及四维反转系统的拟周期解的存在性以及一类具有椭圆退化平衡点的四维四维非保守系统不变环的保持性研究。3、研究了线性薛定谔方程在反转拟周期扰动的下的周期和拟周期解的存在性、非线性项依赖于空间变量的梁方程拟周期解的存在性、反转非线性薛定谔方程在拟周期驱动下的不变环的存性、具有周期边界条件的非线性反转导数薛定谔方程拟周期解的存在性研究以及完成了具有拟周期无界扰动的非线性薛定谔方程不变环的存在性研究。4、研究了几类非线性系统的概周期分支以及一类拟周期驱动流的线性化。该项目研究的上述几个问题发展和丰富了无穷维和有限维KAM理论以及Birkhoff正规形技巧，获得了一些创新性的成果。