无穷维Hamilton系统不变环面的有效稳定性

根据经典的KAM 理论, 可积Hamilton系统的不变环面在Hamilton 扰动下大多数能保存下来, 少数环面破裂, 在破裂处可能存在Arnold 扩散, 但该扩散的速度十分缓慢。 Nekhoroshev估计正好清楚地刻画了这种扩散的速度：对有限维Hamilton系统, 若系统满足steepness性质，则所有的解的作用量在一个指数长的时间内变化很小。 因此, 系统是长时间"稳定"的, 这种稳定被称为有效稳定。一个重要的问题是: 这种有效稳定性在由非线性发展方程定义的无穷维Hamilton 系统中是否仍然存在? 我们希望建立各种条件下（Hamilton向量场分别是有界算子和无界算子）无穷维Hamilton系统不变环面附近的Birkhoff标准型定理，并由此证明: 无穷维Hamilton系统的不变环面是有效稳定的。

本项目研究的目标是由非线性偏微分方程生成的无穷维哈密顿系统KAM环面的有效稳定性，即从KAM环面附近出发的解是否在很长时间内仍然待在KAM环面附近。首先，我们定义了tame性质，并证明该性质在KAM迭代和标准型迭代下保持不变。其次，在一定非共振条件下，我们建立了KAM环面附近的高阶标准型。最后，利用tame性质和高阶标准型，我们证明了无穷维哈密顿系统KAM环面的长时间稳定性，并且我们将该结论应用到1维薛定谔方程和1维波动方程上。. 近三年，共完成学术论文3篇，其中1篇已发表，2篇被接收。. 1. Hongzi Cong, Jianjun Liu and Xiaoping Yuan, Stability of KAM tori for nonlinear Schrodinger equation, to appear Memoris of the American Mathmetical Society ( http://www.ams.org/cgi-bin/mstrack/accepted_papers/memo）；. 2. Hongzi Cong, Meina Gao and Jianjun Liu, Long time stability of KAM tori for nonlinear wave equation, accepted by Journal of Differential Equations （http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039614004902）；. 3. Lufang Mi, Shouxia Lu and Hongzi Cong (通讯作者), Existence of 3-dimensional tori for 1D complex Ginzburg-Landau Equation Via a degenerate KAM theorem , Journal of Dynamics and Differential Equations （2014）26， 21-56