弱耦合Hamilton-Jacobi方程组的弱KAM理论

Weak KAM theory has successfully promoted the study of the theory of viscosity solution of Hamilton-Jacobi equation by dynamical system method. As a natural generalization of single Hamilton-Jacobi equation, the weakly coupled system of Hamilton-Jacobi equations becomes an important research object of stochastic switching, game theory and many other fields in applied mathematics. However, since the method of characteristics fails due to nonlinear coupling, the viscosity solution theory of weakly coupled systems of Hamilton-Jacobi equations is limited to linear and monotone coupling cases. Aiming at the nonlinearly coupled systems, this project is devoted to, combining the latest developments in weak KAM theory, PDE, optimal control and stochastic processes, describing the existence of viscosity solutions for static systems in detail; discussing the large-time behavior of viscosity solutions of the Cauchy problems of monotone systems; giving the suitable definition of Aubry set of static system and applying it to the regularity of viscosity solutions. Based on these, we will explore the corresponding weak KAM theory as well as broaden the scope of application of the methods of dynamical system in the viscosity solution theory of system of Hamilton-Jacobi equations.

弱KAM理论成功利用动力系统方法推动了Hamilton-Jacobi方程粘性解理论的研究。作为单个方程的自然推广，弱耦合型的Hamilton-Jacobi方程组是随机转换、博弈论等领域的重要研究对象。由于非线性耦合造成特征线方法失效，利用弱KAM理论讨论方程组粘性解理论的结果限于线性、单调耦合型方程组的情形。本项目针对非线性弱耦合的Hamilton-Jacobi方程组，结合弱KAM理论、PDE、最优控制、随机过程等领域的最新进展，致力于探讨静态方程组粘性解的存在性问题；单调方程组Cauchy问题的长期行为；静态方程组的Aubry集与粘性解的正则性。在此基础上，本项目将进一步探索弱耦合Hamilton-Jacobi方程组的弱KAM理论，尝试拓宽动力系统方法在方程组粘性解理论中的应用范围。

弱耦合Hamilton-Jacobi方程组作为Hamilton-Jacobi方程的直接推广(后者为最优控制理论的主要研究对象)，是多个系统随机转换过程的对偶方程，在博弈论、随机控制领域具有相当的应用价值。.. 本项目致力于研究弱耦合Hamilton-Jacobi方程组的粘性解理论与弱KAM理论。具体地，针对闭流形上的弱耦合Hamilton-Jacobi方程组，其中Hamilton函数满足对p变量的Tonelli条件，我们考察 1) 静态方程组粘性解的存在性与折扣消失问题；2) 方程组Cauchy问题解的变分表示与长期行为；3) 静态方程组Aubry集的定义与相关性质。.. 在本项目的资助下，对于方程组Cauchy问题，我们 1) 分别用变分方法和PDE方法建立了Lipschitz耦合时解的表示和适定性并在具体例子上验证了方程组情形的Lions正则化效应，2) 在单调耦合情形建立了解半群的等度连续性；对于静态方程组情形，我们证明了 3) 遍历问题的不依赖于单调性条件的解的存在性，4) 在单调、凸耦合情形折扣消失极限的存在性。此外，与本项目研究内容相关的，我们还研究了Hamilton-Jacobi方程粘性解的 1) Herglotz变分表示与非单调情形解存在性分支现象与相应接触系统 1) 渐近轨道构造；2) 严格单调 (耗散型)系统最大吸引子的存在性与拓扑刻画。.. 我们得到的结果和相关方法 1) 发展了非线性耦合方程组粘性解的适定性与正则性理论，是研究方程组Cauchy问题长期行为的基础；2) 包含了关于非线性耦合Hamilton-Jacobi方程组折扣消失极限的存在性结论，涵盖了已知的大多数结果，也为进一步发展静态方程组解的存在性理论提供了依据；3) 在较低的正则性假设下建立了粘性解的变分表示，为在弱耦合方程组框架内作进一步的推广提供了工具。我们关于Hamilton-Jacobi方程粘性解存在性分支现象、接触系统连接轨道、单调系统最大吸引子等方面的结果系动力系统方法在PDE、理论热力学研究中的试验，同时也在后续关于Hamilton-Jacobi方程周期、概周期粘性解的研究中有直接应用。