丛代数、上同调理论与箭图的拓扑结构

In representation theory, cluster algebra is the new important method during the past decade, tilting algebra and cohomology are both important subjects. Quiver is their important tool. The following are the key points for this project:.Viewing quiver as a topological direct graph, construct the basis of the Lie algebra of the first cohomology; if this quiver is a tilting quiver, consider how it to reflect the properties of the original algebra and tilting module. When this quiver is a cluster quiver, study its mutations and cluster algebrra and the properties of the obtained cluster category. Finding the relationship between these objects and the genus of this quiver so as to become the topological structure to the corresponding algebraical structure. Using the method of natural quiver, give the new forms of Gabriel theorem, the theory of BGP-functors, the classification of representation types and study the structure and representation of an artinian non-basic algebra. ???.Concretely, we will do in six parts: the theory of differential operators of path algebras and in general, associative algebras; quivers with potentials and the differential operators and cohomology of Jacobian algebras; the mutation type of a cluster algebra and the topological characterization of its cluster quiver; the relation between the tilting quiver?and cluster-tilting graph of a cluster quiver; set up the extensive theory of mutations;?isomorphism problems and the Hopf structure of cohomology algebras.

丛代数是近十年表示论新的重要方法，倾斜代数、上同调代数是代数表示论重要领域，它们的重要工具是箭图。.本项目的关键是：把箭图作为空间有向图，构造它的路代数的一阶上同调李代数的基；以及它成为倾斜箭图时如何反映原代数和倾斜模的性质；研究此箭图的mutation及作为丛箭图时，它的丛代数及由此构造的丛范畴的性质，建立这些研究方面与此箭图作为空间有向图的亏格数的联系，从而把图的拓扑结构转化为相应的代数结构加以讨论。用自然箭图方法，给出新形式的Gabriel定理、BGP函子理论及其表示型分类方法，研究非Basic的阿丁代数的结构和表示。.分六方面研究：路代数和结合代数的微分算子理论;具有potential的箭图与Jacobian代数上的微分算子与上同调;丛代数的mutation型和它的丛箭图的拓扑刻划;丛箭图的倾斜箭图与丛倾斜图的关系;广泛Mutation理论的建立;同构问题、上同调环的Hopf结构.

首先，在丛代数结构理论上取得重大进展，解决了2005 年著名数学家Fomin 和Zelevinsky 提出的关于符号斜对称矩阵完全性问题的猜想，这对丛代数很重要。作为该结果的应用，解决了无圈符号斜对称丛代数的正性猜想和F-多项式猜想，这些都是重要的进展。对丛代数及相关表示理论会有深入的影响。还建立了丛箭图的拓扑理.论，并以此研究拓扑性质对代数结构的影响。..另一方面，对于Hopf 代数上的张量范畴的表示环，我们将这个方法从表示范畴延伸到了导出范畴，如同用一个高倍放大镜，计划以此建立新的系统方法来研究代数的表示。..主要研究内容包括：遗传代数截面与切片及其倾斜图与丛-倾斜图间的关系；有限变换型的丛箭图的亏格和曲面上的非平面丛箭图：广义矩阵代数的Gorenstein投射模及其应用；张量范畴背景下的表示环；容许代数的第一阶Hochschild上同调；量子空间坐标代数A (n) q 上的Uq(sl(m+ 1))-模代数结构；Frobenius-型三角矩阵代数的表示；导出范畴和丛范畴之Auslander-Reiten箭图的对偶保持性；几何型丛代数的结构，包括子种子和种子同态以及Green 等价和剖分曲面； 符号斜对称丛代数的展开理论以及在正性和F-多项式上的应用。..项目组成员还在典范双模的同调性质与控制维数、对称代数上生成子的自同态代数成为广义对称代数、Schur代数上的Doty余代数结构和控制维数等取得重要成果，在顶尖刊物上发表。还有成员解决了驯顺型代数的模范畴的齐性的Crawley-Boevey猜想，已被国际顶尖刊物接受。