n-平移代数，McKay箭图与高维表示理论

Motivated by the study of cluster algebra, non-commutative geometry and the classical Auslander-Reiten, Iyama introduced and studied Higher representation theory. n-representation-finite algebra, n-representation infinite algebras introduced by Iyama are closely related to n-translation algebras introduced in studying higher McKay quivers and related algebras. The proposed project is aimed to study the relationship between these algebras and to develop a structural and representation theory for these algebras, following the classical theory of the algebras related to hereditary algebras. By studying construction which produces algebra of higher dimension in some sense for these algebras, more algebras with higher representation-finite feature will be constructed; Using McKay quiver and complexity, algebras with higher representation-tame feature will be characterized; Via the relationship between Koszul complexes and n-1-almost split sequence for n-translation algebras, tilting theory for the related algebras will be investigated. To develop higher representation theory, we’ll construct a series of new examples and describe their structure and representations. These will be of significant importance also in studying higher representation theory and its applications in non-commutative algebraic geometry, higher cluster algebras and Calabi-Yau algebras.

由于代数表示论自身研究的深入和cluster代数、非交换代数几何等相关学科发展需要，Iyama 引入了高维Auslander-Reiten理论。其中n-表示有限代数、n-表示无限代数与我们近年在研究代数表示论、McKay箭图等高维问题时引入了n-平移代数有密切联系。本项目以深入研究这些代数及其联系，在与遗传代数表示理论相关的经典理论基础上发展这些高维表示中重要的代数的结构与表示理论为目标。通过升维构造研究给出更多具有高维表示有限性质的代数的结构，并刻画相应表示范畴之间的联系；通过McKay箭图和复杂度等不变量刻画具有高维驯化特征的代数；通过n-平移代数和Koszul复形与n-1-几乎可裂序列的关系研究相关的倾斜理论。发展高维表示理论，同时将构造一批高维表示代数的例子，刻画相应的结构与表示性质。将促进高维表示及其在非交换代数几何、高维cluster代数和Calabi-Yau代数的应用研究。

1978年，Beilinson证明n维射影空间的凝聚层范畴的导出范畴与一个有限维代数的导出范畴作为三角范畴等价，Bernstein-Gelfand-Gelfand证明n维射影空间的凝聚层范畴的导出范畴与一个外代数的分次稳定范畴作为三角范畴等价。这些等价人们从不同的角度进行了推广，分别称之为Beilinson对应和BGG对应。平凡扩张是从一个代数出发构造对称代数的经典方法；高阶预投射代数构造一个与代数的表示相关的代数，它在高维代数表示论理论起着重要作用；而二次对偶是二次代数的一种往复构造。本项目的一个主要成果是引入n-切片代数Γ，使得这三种代数构造构成一个交换图：即Γ的二次对偶Λ的某个扭平凡扩张Δ(Λ)与其(n+1)-预投射代数Π(Γ)的二次对偶同构。Π(Γ)是一个AS正则代数。当它诺特代数时，这个交换图导出四个三角范畴的代价：Γ和Λ的导出范畴，Δ(Λ)的分次稳定范畴以及Π(Γ)的非交换凝聚层导出范畴。Δ(Λ)的分次稳定范畴与Π(Γ)的非交换凝聚层导出范畴的等价是BGG对应的推广，而Γ的导出范畴与Π(Γ)的非交换凝聚层导出范畴的等价是Beilinson对应的推广。我们还证明了n-切片代数是拟Fano代数。为推广遗传代数Iyama等人引入n-遗传代数，它在高维代数表示论里非常重要。我们注意到(n+1)-预投射代数为(q,n+1)-Koszul的n-遗传代数是n-切片代数。在Beilinson对应和BGG对应代数推广版本的研究框架下，我们对n-切片代数推广了遗传代数的一些理论：我们给出了n-切片代数的有限、驯化和野的分类；对其高阶预投射代数是诺特代数的驯化代数，我们给出了六个相关的三角范畴的等价；证明其表示范畴的高阶预投射分支、预入射分支都是一个由其界定箭图定义的一种n-平移箭图的截断；而且n-APR倾斜亦可通过n-平移箭图高阶形变实现。这些成果对于研究非交换代数几何和高维代数表示论都有意义。.我们还在有界同伦范畴中给出了Bongartz关于偏倾斜模补定理的相对版本，证明了代数的导出范畴的每个G-不变粘合都诱导出斜群代数导出范畴的粘合。给出了三角范畴为E-1-Gorenstein的充要条件；并在适当的函子范畴里还建立了E-倾斜对象类与倾斜子范畴类的一一对应。