箭图代数与Calabi-Yau范畴

We investigate the quiver algebra and their derived category which is a Calabi-Yau category, and study the Calabi-Yau category with cluster objects, and investigate the homological dimension and the structure property for the endomorphism algebras of cluster objects. We investigate the structure properties of tilting modules and combinatorial homological problems for quiver algebras with relations coming from potential, and study the Gorenstein homological properties for the endomorphism algebras of cluster objects in a Calabi-Yau category, and investigate the homological invariance for the cluster tilted algebras appeared in a connected component of the mutation quivers of cluster objects. By using the Auslander-Reiten translation and algebraic geometry methods, we investigate the structure of tilting modules for the quiver algebras and the structure of τ- tilting modules for the cluster tilted algebras..The content of this project is focus on the main problems and the hot fields in representation theory of algebras, and our research has important theoretical significance.

研究箭图代数的表示理论及其导出范畴的Calabi-Yau性质，研究Calabi-Yau范畴的cluster对象的自同态代数的同调维数及其广义倾斜模的结构性质；研究带位势关系的箭图代数的表示范畴的组合同调问题和倾斜模的结构性质，用组合同调的方法研究Calabi-Yau三角范畴的丛对象的自同态代数的Gorenstein同调性质，研究丛对象的mutation箭图的联通分支上的丛对象所对应的丛倾斜代数之间的同调不变量，利用代数表示理论中的Auslander-Reten变化和代数几何工具进一步研究箭图代数和丛倾斜代数的倾斜模和τ-倾斜模的结构。.本项目所要研究的内容是代数表示论的主流问题和热点领域，有重要的理论意义。

箭图代数的表示理论与代数数论,李理论和量子群等诸多数学分支联系紧密。在国家自然基金项目“箭图代数与Calabi-Yau范畴”（批准号：11671230）的支持下，项目负责人张顺华与合作者研究了Auslander代数和广义高维Auslander代数的结构性质和广义高维Auslander对应，得到了一些创新性成果。项目主要成员尹洪波和他的合作者深入研究了平均Colmez猜想、Sylvester猜想和椭圆曲线的BSD猜想，得到了一些有重要影响的新成果。..张顺华与合作者研究了Auslander代数的任意模的投射维数和它的socle的投射维数之间的联系，给出了Auslander代数的一些等价刻画。我们研究了高维Auslanser代数和n-极小Auslander-Gorenstein代数的同调性质与结构性质，讨论了一个模的Gorenstein投射维数与它的socle的Gorenstein投射维数的关系，并利用这类关系给出了这两类代数的一些新的刻画。 我们给出了一种构造具有有限控制维数的代数的构造方法，证明了所有有限控制维数的代数都可以通过这种方法来实现。利用几乎n-预丛倾斜模，我们还证明了几乎n-极小Auslander-Gorenstein代数的Morita等价类和几乎n-预丛倾斜模的等价类一一对应。.项目主要成员尹洪波和他的合作者证明了对于任意酉复乘域，指标相同的复乘类型的平均Colmez猜想成立。尹洪波和他的合作者首次运用正交群上的Borcherds乘积理论和Bruinier-Kudla-Yang的复乘值公式来研究特殊线性群上模函数的复乘值，证明了Yui-Zagier猜想的特殊情形，同时给出Gross-Zagier关于j函数复乘值分解公式的新的证明，还给出了与Sylvester猜想有关的椭圆曲线的精确Gross-Zagier公式，并利用该公式证明了相应椭圆曲线的精确BSD猜想的3因子部分成立，得到了一类局Waldspurger周期积分的计算方法，并给出了其算术应用。..该项目组成员发表和录用（即将发表）的研究论文共8篇，我们所取得上述研究成果受到国内外同行的关注，对进一步研究广义高维Auslanser对应和代数数论中的著名猜想和热点问题有重要的引领作用。