箭图在代数上的表示

In algebra representation theory, it is a fundamental method to study and construct representations via the representations of a quiver Q over a field k. In this project, the most important observation and idea is that the representations of a quiver over a field k can be expanded to the representations of a quiver over an algebra. This is equivalent to construct the modules of A\otimes_k kQ/I. Denoting the representation category of a quiver (Q,I) over an algebra A by Rep(Q,I,A). If Q has no relations, it is denoted by Rep(Q,A). In this project, we will study the following three questions: 1. the representation type of Rep(Q,I,A) and indecomposable representations in Rep(Q,I,A) will be given. Some important functors in Rep(Q,I,A) will be studied. 2. The monomorphism category Mon(Q,A) in Rep(Q,A) can be expanded to the subcategory Mon(Q,I,A) in Rep(Q,I,A). The relative projective (injective) representations in Mon(Q,I,A) and functorially finiteness of Mon(Q,I,A) will be studied. 3. Via the representations of a quiver over an algebra, we can connect the abstract Gorenstein-projective representations with the explicitly category Rep(Q,I,A). So the methods in conbination theory, graph theory, algebraic geometry and homological algebra can be used to study the Gorenstein-projective over A\otimes_k kQ/I.

利用箭图在域上的表示来构造和研究表示，是代数表示论中最基本的方法。本项目最重要的思想和观察是将箭图在域上的表示拓广到箭图(Q,I)在代数A上的表示。这相当于构造张量代数A\otimes_k kQ/I上的模。记箭图(Q,I)在代数A上的表示范畴为Rep(Q,I,A)。当I=0时，记为Rep(Q,A)。本项目将研究：1.范畴Rep(Q,I,A)的表示型、不可分解表示和其中的重要函子。2.把Rep(Q,A)中的单态射表示子范畴Mon(Q,A)拓广到Rep(Q,I,A)中的子范畴Mon(Q,I,A)，研究其上相对投(内)射表示及函子有限性。3.利用箭图在代数上的表示，就把抽象的Gorenstein投射模与具体的Re(Q,I,A)联系起来。从而，可用组合、图论、代数几何和同调的方法研究A\otimes_k kQ/I上的Gorenstein投射模。

利用箭图在域上的表示来构造和研究表示，是代数表示论中最基本的方法。本项目最重要的思想和观察是将箭图在域上的表示拓广到箭图(Q,I)在代数A上的表示。这相当于构造张量代数A\otimes_k kQ/I上的模。记箭图(Q,I)在代数A上的表示范畴为Rep(Q,I,A)。当I=0时，记为Rep(Q,A)。在三年多的研究中本项目主要完成了：1 把Rep(Q,A)中的分离单态射表示子范畴Smon(Q,A)拓广到Rep(Q,I,A)中的分离单态射表示子范畴Smon(Q,I,A)，研究了其上相对投(内)射表示、函子有限性和AR-序列。2.利用箭图在代数上的表示，把抽象的Gorenstein投射模与具体的Re(Q,I,A)联系起来。利用组合、图论、代数几何和同调的方法研究A\otimes_k kQ/I上的Gorenstein投射模。并给出了这种情况下Gorenstein投射模就是满足局部Gorenstein投射性质的分离单态射表示。这两部分的结果已经刊登在JA，CMB等期刊上。3.对于任意两个有限维k-代数，它们在k上的张量代数上Gorenstein投射模结构和性质也有了清晰的刻画和深刻的认识。相关结果已经投稿到JPAA。