与高阶矩阵谱问题相联系的孤子方程的可积性与代数几何解

In soliton theory, it is a basic and important task to find new dynamic systems and construct their explicit solutions. According to these solutions, many wonderful properties of soliton equations can be discovered. Among different kinds of explicit solutions of soliton equations, algebro-geometric solution is the most fantastic one. It reveals not only the internal structures but also integrability of soliton equations. Therefore, this project focuses on two problems: (1) constructing new soliton hierarchies associated with high order matrix spectral problems and discussing their integrability. (2) deriving the algebro-geometric solutions of soliton equations with the algebro-geometric method.

在孤子理论中, 寻找新的可积系统和给出可积系统的解析解是最基础而重要的研究内容. 而如何有效的求得一类孤子方程的精确解, 并研究该精确解的性质, 一直是一个基本而又富有挑战性的课题. 孤子方程的代数几何解不仅揭示了解的内部结构, 描述了非线性现象的拟周期行为或孤子方程的可积性特征, 而且可以利用它约化出多孤子解, 椭圆函数解及其它形式的解. 因此, 研究孤子方程的代数几何解就变得十分重要. 本项目主要解决以下两个问题：(1) 构造合适的高阶矩阵谱问题, 导出孤子方程族并研究其可积性；(2) 应用代数几何方法, 构造孤子方程的代数几何解.

在孤子理论中，寻找新的与高阶谱问题相联系的可积系统和研究可积系统的相关代数几何性质是最基础而重要的内容。本项目在此相关方向展开工作，一方面致力于与高阶谱问题相联系的新的非线性演化方程族的构造，成功导出了新的广义Jaulent-Miodek方程族，6分量广义耦合导数非线性Schrödinger方程族和耦合Burgers方程族，并对其相关可积性质进行研究。另一方面，项目组应用超椭圆曲线和三角曲线理论，分别构造了上述广义Jaulent-Miodek方程族和耦合Burgers方程族的代数几何解，从而揭示了这些与高阶谱问题相联系的非线性演化方程族在数学与物理领域更多有意义的性质。