三角曲线与孤子方程的代数几何解

系统地研究非超椭圆曲线即三角曲线的理论并探索求解与3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程族代数几何解的理论框架，特别是三角曲线带有三个无穷远点情形。基于3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程族Lax矩阵所产生的三角曲线及其紧化给出的三叶Riemann面的特性，构造相应三叶Riemann面上的三类全纯微分或渐近式表示以及Baker-Akhiezer函数和亚纯函数。给出一个系统的方法引入μ和ν变量的母函数，并导出它们满足的Dubrovin方程。在局部坐标下计算Baker-Akhiezer函数与亚纯函数的展式、三叶Riemann面上点坐标的渐近展式及其Riemann theta 函数表示，研究Abel坐标与孤子方程解在原坐标下的关系，由此导出一批与3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程族的代数几何解。

孤子方程的代数几何解描述非线性现象的拟周期行为并揭示了孤子方程可积性的重要特征以及解的内在结构机制。然而, 由于涉及代数曲线的理论，求解孤子方程的代数几何解是高难度的重要课题。我们系统研究了与3×3 矩阵谱问题相联系三角曲线的构造、紧化生成的三叶Riemann面的性质,特别强调研究了带有三个无穷远点和两个无穷远点三叶Riemann面的性质。基于三叶Riemann 面的特性，我们导出相应三叶Riemann 面上的三类全纯微分及其渐近式表示以及Baker-Akhiezer函数和亚纯函数。借助Riemann面的亏格我们给出一个系统的方法引入μ和ν变量的母函数，并导出它们满足的Dubrovin方程。在局部坐标下，我们计算出Baker-Akhiezer 函数与亚纯函数的展式、三叶Riemann面上点坐标的渐近展式及其Riemann theta函数表示。利用Abel映射拉直各种流。我们研究Abel坐标与孤子方程解在原坐标下的关系，由此导出一批与3×3 矩阵谱问题相联系的孤子方程族的代数几何解,例如Kaup-Kupershmidt族、修正Sawada-Kotera族、耦合mKdV族、三波方程族、Vakhnenko方程、二分量Klein–Gordon方程、Bullough-Dodd-Zhiber-Shabat方程等。此外，基于超椭圆曲线的理论，我们导出一些与2×2 矩阵谱问题相联系的孤子方程族的代数几何解，其中包括经典的导数非线性Schrodinger方程族和带负幂流的孤子族。我们提出几个新的可积方程族、超可积方程族和几个新的具有N-尖孤子的可积模型。利用迹恒等式我们建立了它们的Hamiltonian结构并导出其无穷多守恒律。进而，我们得到N-尖孤子所满足的动力系统和N-尖孤子解显表达式。