图和复杂网络的谱分析

图和复杂网络的谱分析是当前国际上复杂网络理论中一个重要研究课题。本项目主要研究图和复杂网络的谱（邻接矩阵谱和拉普拉斯矩阵谱等）性质和特性以及对应的特征向量性质。建立能够用来反映复杂网络的拓扑结构的一些重要基本参数（平均距离、聚集系数、度分布、介数等）与它们的谱之间内在的联系。通过对现实系统的复杂网络的各种模型（小世界模型、BA模型等）谱和谱分布（谱密度）的分析，试图再现和理解复杂网络的结构、形状和性质、以及如何进行演化的机理。通过图和复杂网络系统的结构与特征值以及它们重数和对应特征向量的某些定量关系来解释复杂网络中某些动力学行为。从数学角度给出从统计物理、生物科学和其它学科得到一些结果（小世界直径、度分布等）严格证明和定量的刻画。本课题不仅涉及到数学中图论、矩阵分析、概率论和随机过程等分支，而且涉及到统计物理、生物科学和社会科学等领域。这是一个多学科相互交叉、渗透、影响的综合性研究项目。

图和复杂网络的谱分析是国际上复杂网络理论中一个十分重要并且非常活跃的研究课题. 本课题取得的主要结果包括 1. 利用随机图论,代数和概率等方面理论和知识, 从数学角度严格给出并且证明了小世界网络的代数连通度一个好的下界. 这个结果可以用来解释物理学家和工程学家等发现“小世界网络具有快速收敛和网络同步和一致性”的性质. 2.利用离散节点理论和网络的拉普拉斯特征向量的符号给出复杂网络应该有多少个社团和如何划分这些社团以及快速算法. 3.解决了Merris在1998 年中提出关于图的双随机矩阵的问题.4. 完全刻画了错位图、偶错位图、烙饼图等图类最大独立集和自同构群的结构. 5.建立了与连续黎曼几何的Faber–Krahn 不等式相对应的网络上具有Dirichlet拉普拉斯的类似不等式. 6. 研究给定度序列的p拉普拉斯矩阵的谱与特征向量的性质. 在三年期间一共在国内外发表了24篇论文, 其中18篇是SCI 论文. 这些论文已经被引用十多次, 其中一篇被他人在SCI杂志上引用6次. 这些研究成果已经得到国际同行的关注. 在学术交流方面, 组织《第七届组合论国际会议》, 参与组织了2个国际会议和2 个国内会议. 在3个国际会议上和2个国内会议做大会邀请报告, 在10个国际会议和7个国内会议做分组报告. 访问韩国和国内8所大学, 邀请32位国外专家学者访问数学系. 人才培养方面, 培养已经毕业2名博士和5名在读博士. 已经毕业9名硕士生和在读6名硕士生.已经结业4名国内访问学者. 圆满地并且在许多地方超额完成预定的计划.