关于共形维数的若干问题研究

We shall discuss serveral questions on conformal dimension. As quasisymmetrically minimal sets are sets whose dimension is equal to their conformal dimension, the study of quasisymmetrically minimal sets are an important aspect in the study of conformal dimension. Also, because quasisymmetric maps of real line are very different from quasisymmetric maps in high dimension case, quasisymmetrically minimal sets will be investigated in two different cases. For quasisymmetrically minimal sets in real line, we will investigate two questions. The first is to find more classes of quasisymmetrically minimal sets for Hausdorff dimension. We shall answer the question of whether uniform cantor sets of dimension 1 are all quasisymmetrically minimal. The second is to invesgate quasisymmetrically minimal sets for other dimensions, especially for Assouad dimension. For quasisymmetrical minimal sets in high dimension case, we shall mainly pay attention to find more classes of quasisymmetrically minimal sets. This is a step toward a characterization of quasisymmetrically minimal sets in high dimension case. For conformal dimension, we mainly study the question of how to obtain the conformal dimension of a set and how to construct the corresponding quasisymmetrical map.

我们拟研究共形维数相关的几个问题。由于拟对称极小集是共形维数与集合维数相等的一类集合，因此，拟对称极小集的研究是共形维数研究的一个重要方面。由于直线上的拟对称映射与高维空间上的拟对称映射有很大的不同，因此，对于拟对称极小集也分为一维和高维两种情形来研究。直线上的拟对称映射的研究主要集中在以下两个方面：第一，把已有的Hausdorff维数下的拟对称极小集的研究推广到更为广泛的类，着重回答是否所有Hausdorff维数为1的均匀康托集都是拟对称极小的；第二，研究其它维数下的拟对称极小集问题，尤其是Assouad维数下的拟对称极小集的研究。对于高维空间上的拟对称极小集问题，我们将主要关注找出更多拟对称极小集的类，从而为最终刻画拟对称极小集做好准备。对于共形维数的研究，我们将主要关注什么样的集合共形维数能够达到，以及相应的拟对称映射的构造。

本项目的主要研究对象为共形维数。所谓共形维数是指分形集拟对称映射像的维数的下确界。共形维数的研究是比较困难的，对于一些经典的分形集，如Sierpinski地毯的共形维数目前仍是一个开问题。基于这种现状，能得到更多集类的共形维数是有意义的。拟对称极小集的研究是共形维数研究的一个重要方面，我们首先研究了直线上的拟对称极小集，通过研究，我们解决了直线上一个迫切需要解决的问题，证明了维数为1的均匀康托集是拟对称极小的。此外，还讨论了均匀康托集在填充维数、上盒维数下的拟对称极小性。为了进一步研究Assouad维数下的拟对称极小性，我们讨论了均匀康托集的Assouad 维数，得出了均匀康托集Assouad维数的计算公式。在高维空间中，我们主要研究了乘积集。关于乘积集的豪斯道夫维数，以及填充维数，盒维数已经有了一些结论，因此，我们着重讨论了乘积集的Assouad维数，得出了乘积集的Assouad维数的取值范围，且对于这个范围中的任意数值，我们都可以构造乘积集使得Assouad维数能够取到指定数值。作为一种分形维数，Assouad维数的介值性一直是大家比较关心的问题，我们通过构造性的方法，证明了Assouad维数的介值性。. 项目执行期间，没有进行研究内容或目标调整，围绕计划书中提出的问题展开，在本项目的资助之下，发表SCI收录论文2篇，参加学术会议3次，邀请专家来校报告3人次，协助培养硕士生2名。