分形维数与拟对称映射若干问题

度量空间之间的拟对称同胚保持空间的许多度量性质，但维数不是拟对称同胚下的不变量。本项目将研究由拟对称同胚所引起的分形集的维数改变问题，属于分形几何、几何测度论和拟对称映射理论方面的交叉问题。该问题的研究可追溯到1973年Gehring和Vaisala的工作以及1989年Tukia的工作，近年来，经Bishop、Tyson、Kovalev等人的努力，已成为分形维数和拟对称映射理论发展的一个新方向，有许多具有重要意义的问题需要解决。我们拟定了如下几个问题：(1) Whitney修正集上的加倍测度与非拟对称映射；(2)某些集类是拟对称正集、零集、或极小集的充要条件；(3) 分形集的共形填充维数。解决这些问题对于丰富和发展分形维数与拟对称映射理论具有很重要的理论意义。我们将综合运用分形几何，实分析，拟共形映射理论，几何测度论等方面的技巧和知识，坚持独立思考，努力发掘一些新思想，圆满回答这些问题。

经过项目组全体成员三年的工作，除Saksman的开问题外，对于项目拟定的其它几个有关分形维数与拟对称映射的问题，我们获得了满意的理解。我们的研究完全达到了项目的预期要求。同时，我们还得到了项目申报时未意思到的几个成果。关于Saksman的开问题的研究还在继续进行中，目前虽已获得阶段性结果，但遗憾未在此时此刻彻底解决。数学问题解决后，随之而来的是更多的新问题，对于有意义的新问题，我们进行了总结提炼。我们的部分论文现已在Illinois J Math.，Science China Math，Acta Math Sinica，J Math Anal. Appl.，Linear Algebra Appl.，Acta Hungar. Math，Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.，等刊物发表，部分成果已被国内外同行引用。