度量空间中拟共形映射以及Nagata维数的研究

Now the theory of quasiconformal mapping in metric space and Nagata dimension has been studied rather extensively by many mathematicians. The main goal of this project is to achieve innovative results on the quasiconformal mapping in metric space and Nagata dimension theory. This project includes the following parts：.1. We will study two open problems which are raised by Väisälä who is a Finland Mathematician in his interesting mini-notes in 1999..2. We will research whether the Nagata dimension of a metric space under a QS map or a quasiconformal mapping transformation is not invariant?.3. We will study the image of a Porous set in a quasisymmetric mapping whether or not remain to be a Porous set?

现在度量空间中拟共形映射理论和Nagata维数理论受到了大家广泛的关注。本项目的总体目标是希望在度量空间中拟共形映射理论和Nagata维数理论的研究方面取得创新性成果。本项目主要包含以下几个方面的内容： .1. 研究芬兰数学家Väisälä在1999年的一篇有趣的注记文章中提出的两个开问题。 .2. 研究度量空间的Nagata维数是否在QS映射或拟共形映射变换下保持不变? .3. 研究度量空间中的Porous集合在拟对称映射变换下是否任保持是Porous集?

项目背景：复分析这个现代数学领域自著名数学家达朗贝尔、欧拉、柯西、黎曼、威尔斯特拉斯、科比等开创以来，就在物理、工程等学科中有着非常广泛而重要的应用，如在流体力学，空气动力学，静电学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛的应用。共形映射是复分析中最重要的一类映射。近三十年来，国内外学者们在度量空间上的拟共形映射理论上获得了丰硕的成果。比如：Heinonen和Koskela关于度量可测空间上的拟共形映射的结果等等。由于数学家Heinonen和Koskela 的突破性的工作，特别是Ahlfor正则性度量空间和能支撑Poincare不等式的度量空间上的拟共形映射理论的建立，吸引了一大批国内外的专家学者对度量空间拟共形映射理论的高度关注，比如：国内包括王仙桃、黄曼子、刘劲松、程涛、Rasila等学者，他们在度量空间拟共形映射理论做出了一系列突出的研究成果。. 主要研究内容：本项目总体目标是度量空间中拟共形映射性质的刻画以及它与Nagata维数关系的研究。通过深入研究，揭示拟共形映射或拟对称映射更本性的特征，从而促进平面拟共形映射的研究。同时，研究拟共形或拟对称映射是否会保持Nagata维数不变，以便根据度量空间Nagata维数来判断空间之间是否能够拟共形或拟对称嵌入，从而影响空间拟共形嵌入问题的研究。. 主要研究成果：本项目完成学术论文11篇，均标注了该基金项目号，其中包括在国际重要学术期刊Trans. Amer. Math. Soc.和J. Differential Equations分别发表论文1篇。本项目举办了3次学术会议，参与专家学者共100多人；邀请了专家学者来重庆大学交流访问30多人。本项目培养博士研究生5人，硕士研究生8人。具体包括：1、借助于对数螺旋映射，构造了高维拟共形同胚，它在线性扩张、内扩张和外扩张中不允许最小因子分解。从而回答了美国科学院院士Gehring的一个开问题。2、引入了一类新的无边界正则性假设的域--对数型凸域。然后将Kobayashi度量在对数型凸子域中进行局部化。3、刻画了拟双曲一致域在弱拟对称映射下仍然是保持不变的；证明了拟度量空间的连通性在拟莫比乌斯映射下保持等等。