拋物奇异积分算子有界性及其应用

本项目主要研究抛物奇异积分算子，抛物超奇异积分算子，抛物Littlewood－Paley算子及上述三类算子的相关算子（如交换子，振荡积分等）在调和分析许多重要的空间(比如:Lebesgue空间，Hardy型空间，Sobolev空间，Triebel－Lizorkin空间，Besov空间,Morrey空间,Herz型空间等等)的有界性.同时还讨论拋物奇异积分算子，拋物极大奇异积分算子，拋物Littlewood－Paley算子在Hardy核条件下在乘积Lebesgue空间，乘积Triebel－Lizorkin空间的有界性.通过对拋物奇异积分算子和可变核的拋物奇异积分算子和这两类算子的交换子的在局部Hardy空间，局部的Herz－Hardy空间，某类加权BMO空间的有界性，来研究带粗糙系数的二阶椭圆微分方程和二阶拋物微分方程的正则性.

主要成果有：.1.抛物奇异积分算子和极大算子的研究：我们利用Fourier变换等方法证明了在核函数满足一类"Grafakos"条件下抛物奇异积分算子T^\alpha和抛物奇异积分的极大算子sup|T_k^\alpha|的L^p有机性。.2.关于粗糙核的Littlewood-Paley算子和交换子的研究：当核函数满足一类“Grafakos”条件时，我们证明了抛物Littlewood-paley算子g_\phi在L^p上有界，同时我们还证明了当核函数\Omega属于块空间 B^{0,-1/2}时，抛物Littlewood-Paley算子在L^p上有界。上述两类条件比较弱.且结果不能再改进.最后，我们给出了当核函数\Omega属于L(Log L)^{m+1/2}或者属于 B^{0,m-1/2}时,抛物Marcinkiewicz积分交换子\mu_{b,k}在L^p上有界，此类结果已是最佳。.3.带粗糙系数的椭圆方程和抛物的正则性的研究：通过建立几类带粗糙核的积分算子及其交换子在一类广义Morrey空间上的有界性，利用上述有界性证明l了带VMO系数的二阶非散度型椭圆方程在一类广义Morrey空间的正则性。.4.其他:研究了Schrodinge方程组解的存在性，几类多线性算子的极大交换子的有界性，其他经典算子的有界性，得到一系列结果。