含有非局部项的非线性薛定谔方程的研究

This project aims to investigate the standing wave solutions of the nonlinear Schrodinger equations with nonlocal terms, which arise from physical contexts in the description of quantum mechanics. Our research can be roughly divided into two parts. In the first part, we consider the pseudo-relativistic Schrodinger equations, which contain two types of nonlocal terms, the Bessel type operators and the Hartree nonlinearities. We will develop a new approach to obtain compactness results by using rearrangement in Fourier space and related sharp rearrangement inequalities. These compactness results can be used to prove the existence and stability of the ground states for the general Hartree type nonlinearities with mass-subcritical growth. In the mass-critical case, we will study the mass concentration phenomenon influenced by the inhomogeneous functions in the pseudo-relativistic Schrodinger equations. In the second part, we will investigate the symmetric properties of the standing waves of the nonlinear Schrodinger equations with nonlocal terms, which are closely related to the dynamics of their Cauchy problems. We will apply the method of moving planes to study the general bounded positive solutions and our first approach is to consider the extension problems related to the nonlocal equations involving the Bessel operators. On the other hand, We will establish maximum principles concerning Bessel operators for antisymmetric functions, which allow us to obtain the symmetry of more general positive solutions (up to a translations and phases) by the direct method of moving planes in these nonlocal problems.

本项目将研究含有非局部项的非线性薛定谔方程，这类方程来源于量子力学中的数学物理模型。主要研究内容为：一、研究伪相对论型薛定谔方程中的紧性问题和动态学行为，该类方程中含有Bessel算子和Hartree项这两种非局部项。我们将通过Fourier空间中的重排不等式来得到相应变分问题中的紧性结果，由此证明具有一般质量次临界增长的伪相对论型薛定谔方程中基态解的存在性和稳定性。在质量临界情形下，我们将利用集中紧性原理考察非齐次函数项对伪相对论型薛定谔方程中爆破解质量集中现象的影响。二、研究含有非局部项的稳态非线性薛定谔方程有界正解的对称性。我们将从两个途径采用移动平面法考虑一般有界正解的对称性。首先，我们希望利用延拓Bessel算子的方法将非局部问题转化为局部问题来研究。另一方面，我们也希望对反对称型函数建立关于Bessel算子的极值原理，从而利用直接型移动平面法在更一般的条件下证明径向对称性。

本项目研究了具有非局部项的非线性薛定谔方程，这些方程来源于量子力学具有深厚的物理背景。我们主要考虑了两类非局部项：卷积型（或Hartree型）非线性项和广义pseudo-relativistic算子。首先，我们研究了含非局部项的Schrodinger-Poisson方程变号解的问题，这类方程具有两个竞争的卷积型非线性项。利用矩阵论和Brouwer度理论等结果，我们引入新的分析方法证明了正好变号k次的解的存在性。进一步，我们还研究了这种解的渐进行为。另一方面，我们建立了研究含有广义pseudo-relativistic型算子的方程的直接方法。我们开发了一系列关于反对称型函数的极值原理并由此发展了直接型移动平面法和滑动法。这些方法被应用到各种不同的非局部方程解的对称性和唯一性的研究中。更进一步，我们考虑了广义pseudo-relativistic型方程基态解的问题，这些基态解与该类方程的Cauchy问题紧密相关。通过研究相关的约束变分问题，我们利用集中紧性原理证明了基态解的存在性。然后，我们进一步研究了基态解的各种性质，包括正则性和对称性等。特别地，我们证明了驻波解的稳定性。另外，我们还考虑了一些与非局部项相关的奇性Q-曲率方程问题和具有跳跃的随机偏微分方程问题。该项目的研究使我们加深对含有非局部项的非线性薛定谔方程的理解，其中的一些结果将促进相关领域问题的研究工作。