具非局部项和非线性奇异项的椭圆和抛物偏微分方程

MEMS equations and thin film equaions are some important nonlinear elliptic and parabolic equations in physics and fluid mechanics. In this proposal, we intend to study these eqeuations which involve nonlocal terms, or singular nonlinearities, or supercritical exponent and/or the singular boundary problems, in paricular,to understand how the nonlocal effects affect the qualitative properties of solutions. In addition, we also intend to study the connection between qualitative properties of solutions and the geometrical and opological properties of the underlying domains; in paricular, the zero sets and the singular sets of solutions. Note only will this investigation creates new and significant mathematics, but will hopefully improve our ability in modeling more sophisticated and realisic situation in our world.

本项目研究物理和流体力学中的MEMS方程和薄膜问题，它们是一些重要的非线性椭圆型偏微分方程和相应的抛物方程。研究内容包括含有非局部项和奇异项的方程、超临界指数方程、含有奇异边值的定解问题。对这些方程解的结构、奇性及渐近行为进行深入的讨论。重点研究这些方程（组）解的奇异性和凝聚现象，解的几何性质，研究区域的几何与拓扑性质对解的奇点集、零点集、凝聚集的影响。了解非局部效应的影响。利用奇摄动变分理论和Blow up分析等研究、处理这些问题，有利于发现一些数学问题之间的联系和共性，有利于研究工作形成系统，同时能丰富非线性偏微分方程的理论，发展新的方法，解决新的问题。通过这些研究，可以从更多角度理解物理或自然现象的本质。

本项目研究薄膜问题、液滴的扩散、MEMS、空间生态学模型中的一些重要的非线性椭圆型偏微分方程和相应的抛物方程。研究内容包括含有奇异项的方程、超临界指数方程、含有奇异边值的定解问题。对这些方程解的结构、奇性及渐近行为进行深入的讨论。特别是对以MEMS 为背景的一类具有奇异非线性项的半线性椭圆及含有双调和算子的方程的研究：奇异解的存在性和奇点集合的大小与性质。全空间上稳定解及有限Morse指标解的不存在性,相应的带有参数的Dirichlet、Neumann问题的解的结构和性质。四阶椭圆问题在超临界情况下方程解的对称性，具有非局部项的偏微分方程中孤立奇点的产生和分类，以及所起的作用等机制，特别是具有非局部非线性项的Choquard方程中孤立奇点的分类等问题上有突破。更多地了解了这些方程（组）解的奇异性和凝聚现象，解的几何性质，研究区域的几何与拓扑性质对解的奇点集、零点集、凝聚集的影响。同时也丰富非线性偏微分方程（组）的理论，为奇摄动变分理论和Blow up分析等理论提供了解决问题的更多的方法和技巧，并且对流体力学、材料科学中的一些的非线性现象提供深刻的了解。