几类含非局部项椭圆方程及相关问题研究

Critical point theory plays an important role in studying solutions of elliptic equations. This project is to study several kinds of elliptic equations with non-local terms by Nehari manifold method 、concentration-compactness principle 、index theory 、Lusternik-Schnirelmann theory and rearrangement argument. The contents are organized as follows:.1)We will investigate the existence of solutions of Schrödinger-Possion system with indefinite potential. However, the classical variational methods can't be used in this kind of problems directly, the rusults in this area are few. .2) We will study the infinitely many solutions、high energy solutions and concentration of the solutions for Schrödinger-Possion system with indefinite nonlinearity..3)By similar technique, We will consider similar problems for several kinds of elliptic equations with non-local terms. Meanwhile, We will study similar problems on the Riemman manifold.The research helps us to understand the effect of various factors on solutions of the equations.

临界点理论在非线性微分方程解的存在性研究工作方面有重要的应用。本项目将运用Nehari 流形、集中紧性原理、Lusternik-Schnirelmann理论及函数的重排等工具，给出几类含非局部项椭圆偏微分方程的解存在性刻画。具体内容如下：1)考虑含不定位势的Schrödinger-Possion系统解的存在性。由于经典的变分法处理这种情形往往失效，因此关于含不定位势的非局部项椭圆偏微分方程的研究非常少。2) 我们首次考虑含不定非线性项的Schrödinger-Possion系统无穷多解性、解的集中性及高能量解。3)把相应的方法应用到Kirchhoff 等几类含非局部项椭圆偏微分方程。同时，在黎曼流形上的考虑类似的问题。通过研究这些问题，能更好地理解方程的各个因素对方程解的影响。

变分方法及临界点理论在研究微分方程的解有重要的应用。本项目主要运用Nehari流形、集中紧性原理、指标理论及函数的重排等手段，给出几类含非局部项椭圆偏微分方程的解的刻画。我们目前得到主要结果总结如下：.1. 我们首次证明了含不定非线性项的薛定谔-泊松系统存在无穷多解..2.通过函数的重排，我们分别给出了分数阶薛定谔方程及基尔霍夫方程的基态解的存在性，我们的结果不仅推广先前已有的结果，方法更为简洁..3. 我们首次得到了高维(N>4)退化临界增长的基尔霍夫方程的Bounded state解的充分条件..4.我们首次研究含非齐次项离散的椭圆方程及含非局部项离散的椭圆方程的解的存在性.. 非局部项椭圆方程的解的研究是近20年的研究的热点，这类方程在物理、生物、经济金融方面有着很广泛的应用背景。我们的研究得到了一些比较有意思的结果，同时，在方法上也提供解决这类问题的研究思路.