某些非线性波方程的周期波的动力学性质、精确参数表示和极限形式研究

Nonlinear wave equation is one of the most popular research topics worldwide, the dynamical properties and the exact parametric representations of the various types of nonlinear wave solutions and their limit forms have applications to a wide variety of fields, from fluid mechanics, condensed matter physics, solid state physics, to biomathematics, fiber optic communications and many others. Our main research topics consist of some nonlinear wave equations, such as different kinds of generalized Schr?dinger equations, generalized short pulse equations, generalized Hunter-Saxton equations，generalized Broer-Kaup systems and generalized sine-Gordon equations etc. Incorporating techniques such as the symmetry analysis method, the first integral method and symbolic methods, we mainly implement the bifurcation technique of dynamical systems to study the properties, which includes dynamics, the exact parametric representations and limit forms, of various types of periodic waves, especially the complex ones, such as periodic peakon, periodic compacton，double periodic wave and compounded periodic wave etc. We shall also reveal the dynamical characteristics of all kinds of periodic wave depending on the parameters, further clarify the correspondence relationship between the orbits of the various planar dynamical systems and the types of nonlinear waves, especially between the non-closed, discontinuous periodic orbits and periodic waves.

非线性波方程至今仍然是世界性的热门研究课题之一，非线性波方程的各种周期波的动力学性质、精确参数表示和极限形式在流体力学、凝聚态物理、固体物理、生物数学以及光纤通讯等诸多领域都有着广泛的应用。本项目以各类广义Schr?dinger方程、广义短脉冲方程、广义Hunter-Saxton方程、广义Broer-Kaup系统和广义sine-Gordon方程为主要研究对象，以动力系统分支方法为主要研究方法并将它与对称分析方法、首次积分方法和符号计算方法有机结合，研究各种周期波，特别是一些较复杂的周期波如周期尖孤立波、周期紧孤立波、双周期波、混合型周期波等的动力学性质、精确参数表示和极限形式。揭示各种周期波随参数变化的动态特征，进一步明确以上非线性波方程的平面动力系统的各种相轨道与各类非线性波的对应关系，特别是各类非封闭、非连续的周期轨道与各种周期波的对应关系。

非线性波方程至今仍然是世界性的热门研究课题之一。各类非线性波方程的周期波解的动力学性质、极限形式和各类非线性波的精确参数表示在流体力学、凝聚态物理、固体物理、生物数学以及光纤通讯等诸多领域都有着广泛的应用。本项目以几类非线性波方程为主要研究对象，以动力系统方法、对称分析方法、符号计算方法为主要研究方法，研究各类周期波解的动力学性质和极限形式，研究各类非线性波的精确参数表示，进一步明确非线性波方程的平面动力系统的各种相轨道与各类非线性波解的对应关系。本项目利用动力系统方法研究了几类非线性波方程的各类周期波解的存在性、动力学性质和极限形式，给出了各类非线性波的精确参数表示，并对相关分析结果进行了数值模拟；利用对称分析方法研究了Kudryashov–Sinelshchikov (KS)方程、一个三维KS方程和一类高维浅水波方程，得到了它们所有的几何向量场和若干对称约化，利用适当的相似变换、积分分支方法和子方程方法，获得了它们的一些精确解；利用对称分析和动力系统方法对一类用于刻画深水表面波的可积进化方程进行了研究，得到了该方程的所有几何向量场和含有任意函数F(t)的各类相似解，通过选取适当的函数F(t)，得到了该方程的各类行波解；结合因式分解技巧，从动力学的观点，证明了一类（1+2）维非线性薛定谔方程和一类广义非线性薛定谔方程光滑孤立波、纽子和反纽子波的存在性，给出了上述非线性波的存在性条件和精确参数表示；提出了一种改进的广义G'/G-展开法，并将其应用于一类带漂移项的KdV方程的研究，得到了许多新的精确解；在齐次平衡原则和子方程方法的基础上，提出了一种改进的分离变量函数展开法，并将其应用于一类时间分数阶偏微分方程的研究，得到了若干包含任意参数的精确解。