非线性波方程行波系统的动力学性质和精确解研究

本项目拟采用微分方程动力系统的分支理论研究非线性波方程（组）的行波系统,揭示行波系统解的动力学性质并发现其精确解。特别对奇行波系统，探索非光滑波解的存在性和发展规律。对可积的高维行波系统，研究系统的约化方法、精确解和解的动力学性质。对藕合的非线性波方程所对应的非可积的高维行波系统，发展分支理论方法，研究系统的周期解、拟周期解和同宿、异宿分支以及可能的混沌动力学。

本项目所开展的工作主要分为以下三个方面：（1）以非线性Kudryashov-Sinelshchikov方程、双耦合的Degasperis-Procesi方程、第一类双耦合的短脉冲方程、广义的Tzitzeica-Dodd-Bullough-Mikhailov型非线性波动方程、双耦合的非线性Hunter-Saxton系统、广义的Camassa-Holm方程等为主要研究对象。通过对这些方程对应的平面分支相图进行分析，理论上证明了这些非线性方程孤波、周期波、Loop行波、尖波、紧孤波和扭结波等在不同参数条件下的存在性并给出了这些解存在的充分条件。（2）利用平面积分分支方法，寻求和构造上述非线性行波对应的精确表达式并研究这些行波的动力学性态，探索这些行波及其对应的平面相轨线之间的内在联系。除了上述正则非线性行波之外，非正则行波也是研究内容之一。在项目研究工作中，我们给出了具有爆破类型和破切类型的非光滑周期波、孤波、扭结波等行波的精确表达式，有助于对这些行波的奇异动力学性态进行研究和理解。（3）项目组的成员在对已有求解方法加以改进并开展一系列工作。如一些常见的求解方法，如G’/G方法、F展开法、最简方程法等进行改进和扩展，并尝试了不同方法之间的相互融合，使求解方法的效率得以提升，并对高阶微分方程开展研究并取得了一定的研究成果。