几类非线性波方程的对称性分析、精确解与动力学性质研究

以几类数学物理中具有丰富应用背景的非线性波方程（组）为主要研究对象，以对称性分析的拓广为切入点，用对称性分析与动力系统理论相结合的方法，研究几类非线性系统的（广义）对称、完全群分类、精确解和动力学性质。本项研究着力发展对称分析方法，并结合运用动力系统方法和广义幂级数法，目的在于获得方程的对称性、精确解，主要是显式精确解，包括各类行波解及其动力学性质（分支和轨线的分布等）。同时，对基于对称的非线性系统的可积性质及其相互关系也进行研究。研究成果以论文的形式发表。

非线性方程的对称性分析、精确解与动力学性质研究最突出的特征是对称分析与动力系统方法相结合。对称分析也叫李群分析，是研究各类微分方程的对称性、精确解及可积性的系统有效方法，而动力系统方法是运用动力系统理论研究微分方程各类行波解和动力学性质的方法，由李继彬教授提出并应用于研究偏微分方程的行波解与动力学性质，收到了很好的效果。将二者相结合并用于研究偏微分方程的精确解与动力学性质，是项目主持人自师从李继彬教授攻读博士学位起就致力研究的内容。经过本项目研究，取得了较为丰富的成果。概括而言，本项目的研究成果包括以下几个方面：（1）将对称分析与动力系统方法相结合发展成为一个系统有效的方法，从而进一步丰富和发展了微分方程的研究，特别是非线性偏微分方程精确求解的研究。目前，这一方法已为许多研究者采用，收到了很好的效果。（2）将研究内容由通常的偏微分方程扩大至差分离散系统和分数阶方程，并取得了初步成果。这就极大地拓展了研究范围，为后续研究开辟了更广阔的空间。关于对称性的研究，也由点对称推广到广义对称，在广义对称的算法与应用研究方面得到了一些新的结果。（3）在对称分析与可积系统方法相结合方面进行了一些探索。如对称分析与Painlevé分析、Bäcklund变换以及递推算子等可积系统方法相结合，在精确解、守恒律与可积性研究等方面做了一些工作，并取得了初步进展。.本项目的具体研究成果：（1）论文发表：共发表期刊论文21篇，以中国科学院文献情报中心JCR期刊分区数据在线平台的最新SCI大类分区为准，发表SCI论文15篇，EI论文3篇。其中，项目主持人以第一作者发表带基金号的期刊论文17篇，其中SCI论文15篇（二区8篇，三区3篇），EI论文1篇。（2）科研获奖：以项目主持人为第一完成人的项目“微分方程的李群分析、精确解及其相关研究”获2014年山东省高校优秀科研成果奖二等奖，项目“李群分析及其在偏微分方程中的应用研究”获2014年聊城大学自然科学奖一等奖。（3）学术交流和人才培养：项目主持人于2014年应邀到美国奥克兰大学访学三个月，还邀请了多位国内外学者来访。项目组成员积极参加学术会议，并做学术报告，广泛进行学术交流。人才培养方面，成立了微分方程与李群分析讨论班，每周举行讲座、交流或报告，促进了青年教师和研究生的成长，在已毕业的研究生中，有多人发表SCI论文，或考取相关方向的博士研究生。