高效随机配置方法及其在不确定性量化中的应用

Uncertainty quantification (UQ) has been a hot research topic recently. UQ has a variety of applications, including hydrology, fluid mechanics, data assimilation, and weather forecasting. One of the typical problems in UQ study is to solve PDEs with random input. Among a large number of approaches, the high order numerical methods have become one of the important tools; and the relevant computational techniques and their mathematical theory have attracted great attention in recent years. The traditional stochastic Galerkin method involves solving a coupled system that is larger than the original system, which admits challenges for practical applications. In recent years, the stochastic collocation (SC) methods, which are sample-based, become more and more popular. As these methods are easy to use and allow parallel computing. However, due to a large number of random input parameters, there are still many challenges in SC methods . This project aims to developing new efficient SC approaches , and we shall focus on several hot topics of SC methods, which include the design of unstructured samples, the optimal choice of samples, and the compressed sensing approach. The project will significantly promote the study for high order numerical methods in the UQ community.

不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）是近年来国际热门的研究课题，其应用领域包括水文学、流体力学、数据同化、天气预测等等。 UQ 计算中的一个典型问题是带有随机输入的偏微分方程的数值求解， 由于大量随机参数引起的超大计算量，如何设计高效的高精度数值方法变得非常重要，与其相关的计算技术和数学理论也引起人们的高度重视。 传统的随机 Galerkin 方法需要求解比原问题规模更大的方程组， 这对于实际应用提出挑战。近年来，基于样本信息的随机配置方法得到了广泛应用，这种方法设计简单，利于并行计算。 但是，面对大量的随机参数输入， 随机配置方法仍然面临诸多挑战。 本项目致力于不确定性量化中的随机配置方法研究， 聚焦于随机配置方法研究中几个核心问题，包括无结构样本的设计，最优样本的选取和压缩感知方法。本研究项目将对不确定性量化高阶方法的研究起到极大的推动作用。

本项目针对具有诸多应用背景的不确定性量化开展研究工作，顺利完成既定目标，在随机配置方法等三个主要研究目标中取得一系列研究进展。主要包括随机配置方法中无结构样本的设计策略，基于压缩感知算法的抽样算法，以及最优样本选取策略。特别的，我们设计了基于平衡态测度的抽样策略，将现有工作中样本使用数量的平方关系降低为线性关系，极大改进了计算效率，证明了算法的最优性。相关结果被计算数学顶尖期刊SIAM Review邀请撰写综述性论文。在本项目资助下，项目组发表论文高水平研究论文20余篇，其中大部分发表于国际计算数学顶尖期刊，例如SIAM J. Sci. Comput.（5篇）, SIAM J. Numer. Anal.（2篇）, 以及J. Comput. Phys.（4篇）等。