动力系统的回复性及相关动力学性质的研究

In this project, we mainly consider the relationship between recurrence and related dynamical properties, and shall study it from three aspects. Precisely,..1) We shall study sensitivity for some special Furstenberg families, obtain for them analog results of the Auslander-Yorke dichotomy theorem concerning sensitivity, moreover, we shall study the dependence of sensitivity on different Furstenberg families;..2) We shall study the structure of F-omega limit set for a given Furstenberg family F, we shall also study various dynamical compactness (including transitive compactness) induced by these new omega limit sets, furthermore, we shall consider the relationship between these dynamical compactness and recurrence, sensitivity in topological dynamics;..3) Given a topological dynamical system of a countable group action, we shall study the relationship between its complexity function (including entropy function) and recurrence by considering asymptotic behavior of a pair of points and local complexity of a subset in such a system with positive entropy...We wish we could solve some basic problems related to recurrence in topological dynamics with this project, and then understand very well the recurrence behavior in dynamical system and related topics.

本项目致力于研究回复性与相关动力学性质之间的深刻联系，将主要考虑拓扑动力系统领域与回复性相关的三个方面的研究热点，以期解决有关的若干基本问题，加深人们对动力系统回复性的理解，丰富动力系统的回复性理论。具体说来：..1) 我们将研究某些特定回复族的敏感性，获得与Auslander-Yorke二分法则类似的结果，进一步，将研究敏感性对族回复性的依赖性，以揭示族回复性与敏感性之间的联系；..2) 我们将研究给定Furstenberg族F的F-omega极限集，以及由之产生的包括传递紧致性在内的各种动力学紧致性，进一步，探讨它们与回复性、敏感性等之间的联系；..3) 我们通过研究可数群作用的熵等复杂性函数与点对的渐近性、子集的局部复杂性等之间的关系，以揭示可数群作用的回复性与熵等复杂性函数之间的联系。

回复性在一定程度上反应了系统的复杂性，它有着悠久的研究历史。本质上说来，拓扑动力系统的根本任务之一就是研究与回复性相关的各种动力学性质。研究动力系统的回复性不仅是动力系统领域本身发展的需要，也满足相关数学领域发展的需求。本项目结合已有的工作基础，围绕着动力系统的敏感性、熵函数等研究了与系统回复性相关的若干动力学性质。具体说来：..1.从多重敏感性、动力学紧致性以及系统的平均敏感性等角度入手，研究了整数群作用的敏感性与回复性，由此对于整数群作用的敏感性与回复性给出了更细层次的本质区分。..2.研究了动力系统的复杂性函数，尤其是可数离散amenable群作用的熵函数（包括拓扑熵、维数熵、拓扑压等）。一方面，为了更加精细地描述和理解整数群作用的复杂性，研究了整数群作用的拓扑序列熵、零熵作用与Mobius函数的不交性、零熵图映射的混沌集等，指出整数群作用拓扑序列熵的取值可以任意复杂，证明了具有离散谱的遍历系统的所有拓扑模等零熵系统均与Mobius函数不交；另一方面，结合最近被建立起来的可数离散amenable群作用的全局拟铺叠理论，研究了可数离散amenable群作用的维数熵，建立了一般可数离散amenable群作用拟符号扩充的熵理论，利用复杂性函数刻画了具有离散谱的可数离散的amenable群作用，并指出对于给定可数离散amenable群作用的遍历测度其generic点集的拓扑压与系统的测度压相等。