群作用动力系统的符号扩充及相关问题的研究

In this project we shall consider dynamical systems of group actions. We aim to study symbolic extensions of group actions and related topics and develop the general theory about them using tools and results from topological dynamics, ergodic theory, symbolic dynamics and random dynamical system. Precisely,..1. As for dynamical systems of countable discrete amenable group actions, we shall present the sufficient and necessary conditions when actions admit faithful principle zero-dimensional extension, symbolic extension and principle symbolic extension, and then build the theory of entropy structure for them. We wish we could extend completely the symbolic extension theory of an integer group action to amenable group actions...2. As for dynamical systems of sofic group actions, we shall introduce some dynamical properties into such actions which are similar to expansiveness, h-expansiveness and asymptotic h-expansiveness (for an integer group action), and then discuss the existence of a symbolic extension for a sofic group action with the help of these results...3. As for random dynamical system, we shall discuss properties of various expansivenesses for them. We wish we could generalize results obtained in previous two parts to random dynamical system, and then apply these results into the study of stochastic differential equations and stochastic flows.

本项目的研究内容涉及群作用下的动力系统，旨在利用拓扑动力系统、遍历论、符号动力系统和随机动力系统的基本理论和最新成果，探讨群作用动力系统的符号扩充及相关问题，以发展群作用动力系统的一般理论。具体说来，..1．在可数离散amenable群作用动力系统方面，我们将讨论它具有忠实的principle零维扩充、符号扩充及principle符号扩充的充要条件，进而建立熵结构理论，期望将整数群作用的符号扩充理论推广到可数离散amenable群作用的动力系统上来；..2．在sofic群作用动力系统方面，我们将引入与整数群作用的扩张、h-扩张、渐近h-扩张等属性类似的动力学性质，进而由此探讨sofic群作用动力系统具有符号扩充的可能性；..3．在随机动力系统方面，我们进一步研究随机动力系统的扩张属性，期望能够在随机情形下讨论上两部分的结果，并将它们应用到随机微分方程和随机流的研究中去。

拓扑动力系统、遍历理论和随机动力系统都是动力系统的重要分支。本项目通过研究群作用下的动力系统以及非自治微分方程，以发展动力系统的一般理论。一方面，利用拓扑动力系统、遍历理论的基本理论和最新成果，围绕动力系统的熵理论、回复性理论以及敏感性开展研究工作；另一方面，研究了非自治微分系统的非一致双曲性以及斜积半流在连通群作用下的单调动力系统。具体说来，..1. 利用动力系统熵的局部化思想，一方面，对可数离散amenable群作用，研究了动力系统的回复性，讨论了正熵作用的局部弱混合性，并在随机情形下构建了局部压理论；另一方面，研究了sofic群作用动力系统熵的弱扩张性。..2. 研究了动力系统的乘积回复性以及与之相关的局部弱混合性，揭示了局部弱混合性与包括动力系统拓扑(序列)熵在内的多种动力学属性之间的联系，并研究了回复性和敏感性强弱与簇的语言等之间的关系。..3.对于非自治的微分系统，研究了非一致双曲性以及稳定性等方面的问题；并在斜积半流的框架下讨论了单调动力系统，由此分析了无界域上非自治抛物系统的稳定整解和非线性扩散系统的稳定行波解。