混杂动力系统的回复性及相关问题研究

The topic of recurrence and relative problems for the hybrid dynamical systems is a new area in mathematics, and can be extensively applied in lots of other applied science such as control theory, electronics, computer science, biomedicine, population ecology, etc. The main purpose of this project is to study intensively in this area by combining the theory of toplogical dynamics, the methods of differential equations and functional analysis. The contents include the general recurrence, almost periodicity, almost automorphy and other recurrent properties of hybrid dynamical systems, especially higher order hybrid dynamical systems, whose mathematical models are differential equations with picewise constant arguments. We will consider the continuous and piecewise almost periodicity as well as the generalized properties for the continuous and impulsive hybrid dynamical systems. Our research involves the existence, uniqueness, the structure of the set of the solutions, asymptotic behaviors and stability of the solutions for the hybrid dynamical systems. Moreover, we will also apply the theoretical results of our studies in the applied science such as population ecology and biomedicine. Some of the problems considered in this project are quite new and seldom considered in the literature. We will try our best to made significant progress in the studies of both theory and applications for the recurrence and relative problems of hybrid dynamical systems.

混杂动力系统的回复性及其相关问题是现代数学中出现的一个崭新的研究课题，其结果可以广泛应用于自动控制论、电子学、计算机科学、生物医学和种群生态学等众多应用科学。本项目将结合拓扑动力系统理论、微分方程的技巧和泛函分析的方法，对此问题进行系统深入的研究，主要涵盖以下内容：以具逐段常量微分方程为基本模型的混杂动力系统的一般回复性、概周期性和概自守性，特别是高阶混杂动力系统的概周期性和概自守性，包括连续和脉冲混杂动力系统的连续和逐段连续的概周期性及其推广回复性态，涉及相关解的存在性、唯一性、解集的结构、稳定性和渐近性等问题，并将上述研究结果应用于种群生态学和生物医学等相关学科领域。其中许多问题的研究目前还处于初始阶段，有的甚至处于空白状态，亟待全面深入展开。本项目力争获得一系列有重要意义的研究结果，建立系统深入的理论体系，使混杂动力系统的回复性及相关问题在理论和应用研究中获得实质性的进展。

本项目系统深入的研究了混杂动力系统的回复性及其相关问题。我们引入了具有周期间断点的不连续概周期和概自守函数及相关的概念，对具有一般性逐段常量一阶非自治微分方程解的有界性、概自守性、概周期性和渐近概周期性进行了深入的研究。研究了S^p加权伪概自守函数、μ-加权伪概自守（周期）函数和μ-S^p加权伪概自守函数的基本性质，并应用于半线性微分方程的研究。研究了时标系统的回复性问题，给出伪概周期函数在时标系统上和实数系统上的关系，建立了时标上的Bochner-like变换，克服了传统Bochner变换不适应时标系统的弱点，以此定义了时标上的Stepanov概周期函数，系统研究了Stepanov概周期函数和Stepanov伪概周期函数的相关性质，并应用于动力方程的概周期性和伪概周期性研究。在抽象Banach空间中，研究了具有扇形算子的分数阶微分方程周期解的渐近性，分数阶积分方程全局解的存在性和吸引性，带有多基点脉冲的非线性分数阶微分方程的边值问题解的存在性，具有有限时滞的中立型分数阶微分方程S渐近ω周期解的存在唯一性。应用我们的理论结果研究了在药物治疗下的肿瘤细胞和细胞毒性T淋巴细胞之间相互作用的数学模型，得到了一些关于系统的局部和全局渐近稳定性的充分条件，证明了通过增加治疗的强度来可以实现混沌区变窄的结论。得到了时滞对数种群竞争模型的正概周期解的存在性、唯一性和稳定性结果。本项目的研究在理论和应用问题的研究中取得了实质性进展。