Cohen-Lenstra预测中若干问题的研究

研究数论中与Cohen-Lenstra预测相关的一些重要问题。结合国际最新进展，从数域的理想类群、椭圆曲线的Selmer群、整体函数域的除子类群和理想类群，三方面着手，对其进行突破。运用筛法和代数群等工具，对二次域和三次域理想类群结构的分布，阶数的平均值进行探究。运用解析技巧，研究椭圆曲线二次扭曲中Selmer秩的分布。通过对Selmer群平均值的估计，来研究椭圆曲线二次扭曲中秩分布的Goldfeld猜想。在已得到Artin-Schreier函数域理想类群Redei-Reichardt公式的基础上，使用解析技巧，研究关于其理想类群第二个不变量分布的Cohen-Lenstra 预测。类比虚的情形，使用代数几何的方法，深入研究实二次函数域理想类群分布的Cohen-Lenstra预测。

本项目对数域，函数域，椭圆曲线的Cohen-Lenstra预测的相关问题进行了深入研究。研究了Artin-Schreier函数域，Kummer函数域等，得到了关于它们的理想类群，除子类群， Zeta函数等的一些结果。对于一些重要的整体函数域，我们还解决了Capitulation问题、Stufe问题和Pell方程等的整数解问题等。对Euler多项式估计和矩阵群中高斯和估计等问题，我们利用有限域上指数和与高斯和的理论，进行了研究。将和式的p-adic展开推广到多重和式的情形，证明了p-adic Hurwitz-Type Euler Zeta函数与p-adic Diamond-Euler Log Gamma函数的一些性质。定义了有理函数域中推广的Rédei矩阵，给出了Kummer扩张、双二次扩张以及Artin-Schreier扩张下推广Rédei矩阵的表达式。