框架中若干问题的研究

框架理论在信息通信等领域具有广泛应用，用算子理论与算子代数的方法研究框架是近几年的研究热点。本项目主要研究以下问题：（1）框架的优化设计，目的是寻求最优紧框架和最优对偶框架.（2）框架的对偶原理，主要研究可数群在Hilbert 空间上的射影酉表示的对偶理论；在一定条件下，它和"Kadison-Singer"问题、框架分解的Feichtigner .猜想有关；（3）模框架和算子值框架，主要研究它们本身的理论、模框架在自由熵估计中的应用、以及算子值框架（有限维或带类群结构）的优化设计问题。

框架理论是泛函分析和小波分析的重要研究内容，在信息通信等领域具有广泛应用，用算子理论与算子代数的方法研究框架是近几年的研究热点。本项目主要研究内容包括：框架的优化设计、框架的对偶原理、Hilbert C*-模框架理论、有限维或带类群结构的算子值框架，Banach 空间上的连续框架，以及Hilbert空间上的连续算子值框架，等。本课题属于基础数学理论研究。我们按计划完成了本课题的主要工作，取得若干有价值的研究成果，达到了预期目的。所取得的重要成果主要体现在三个个方面：..（1）证明了连续框架及其值域的两个分解定理，由此回答了J.Gabardo 和 D.Han在2003年提出的关于连续框架膨胀的一个公开问题...（2）得到了拓扑群在Hilbert 空间上的射影酉表示的算子值框架对偶定理，建立了群似酉系统的游荡子空间及子空间框架生成子内在联系，并在框架向量丢失的情况下，刻画了模框架和算子值框架的稳定性和最优紧对偶...（3）借助广义Kothe函数空间，建立了Banach 空间上的连续框架理论，并且利用直接积分理论建立了Hilbert空间上的连续算子值框架理论。.. 通过本项目的研究，我们对框架理论与算子理论、算子代数的联系有了更深刻的理解，积累了一些有效的研究方法，对今后进一步开展相关研究具有重要的作用.