关于均衡约束非李普希兹规划问题的理论、算法及应用研究

Non-Lipschitz program with equilibrium constraints (NLPEC) is a class of constrained optimizaiton problem in which the constriants include some equilibrium constraints and the objective funciton includes a non-Lipschitz term. It may be seen a generalization of either mathematical programs with equilibrium constraints or a class of non-Lipschitz programs. Moreover, it can be used to choose a sparse decision solution of practical problems. Thus, studying NLPEC has important theoretical and practical significance. However, the popular constraint qualifications fail at any feasible point due to the existence of equilibrium constriants and the limiting subdifferential of the objective function is unbounded due to the existence of the non-Lipschitz function. These two facts make it vey difficult to study NLPEC from theoretical analysis and numerical methods. So far, there are few results on NLPEC in the literature and hence there are many open questions which are worthy to study. Based on the structure of the non-Lipschitz term in the objective function, in this project, we first give some qualification conditions under which local minimizers of NLPEC are stationary, and then we present some sufficient conditions to ensure exact penalizaiton. Moreover, we propose to use relaxation method, penalty method and augmented Lagrangian method for solving NLPEC and establish their convergence respectively. Finally, we will apply the derived results for NLPEC to the second-best road pricing problem in transporation science.

均衡约束非李普希兹规划问题（简称NLPEC）是约束中包含均衡约束，同时目标中包含非李普希兹连续函数的最优化问题。它既可看成均衡约束数学规划问题的推广，也可看成一类非李普希兹规划问题的推广，而且可以用于选择实际问题的稀疏决策方案。因此研究NLPEC具有重要的理论价值和现实意义。但是，由于均衡约束的存在，常见的约束规格不再成立；由于非李普希兹连续函数的存在，目标函数的次微分是无界的。这些使得对NLPEC的理论分析和算法设计都变得很困难。截止目前，文献中关于NLPEC的研究结果还非常少，故而有很多问题值得去研究。基于目标中非李普希兹连续函数的结构，本项目将首先给出规格条件来保证NLPEC的局部最优解满足稳定性条件，进而建立它的精确惩罚理论。然后提出求解NLPEC的松弛化方法、罚函数方法和增广拉格朗日方法，并且分别建立它们的收敛性理论。最后把所得结果应用到交通科学中的次优道路收费问题。

本项目研究了均衡约束非李普希兹数学规划（简称 NLPEC）的最优性理论、求解算法和在交通科学中的应用。截至目前，在包括 Mathematical Programming, Mathematics of Operations Research，Transportation Research Part B: Methodological 等最优化领域和交通科学领域国际知名学术期刊上发表6篇论文，有多篇文章在审稿阶段。研究成果丰富了数学规划的理论和算法成果，得到了 Jongshi Pang，Marc Teboulle 等国内外学术同行的正面评价和引用。. 本项目（1）成功地证明了文献中发展最优性理论的经典技术不适用于一般的非李普希兹数学规划；（2）根据非李普希兹函数的结构，给出了适用于 NLPEC 的几种规格条件，并在这些规格条件下证明了 NLPEC 的局部最优解满足稳定性条件；（3）通过使用光滑化技术近似非李普希兹连续函数，同时使用 Scholte 松弛化方法处理均衡约束，提出了求解 NLPEC 问题的近似求解算法，并且在一个定制化的线性独立条件下建立了收敛性理论；（4）更进一步，提出了一个广泛的光滑化函数抽象框架，并使用 Kanzow-Schwartz 正则化技术处理了均衡约束，由此提出了更适用的近似求解算法，并且在更弱的条件下，证明了近似算法收敛到更强的稳定点；（5）最后，基于发展的 NLPEC 的理论和方法，提出了诱导关键决策的交通网络设计模型。具体地，把 NLPEC 模型应用到了次优道路收费问题、道路通行能力提升问题、和信号灯设计问题中。与经典的网络设计模型相比，新提出模型的最优解自动满足稀疏性，这就使得决策的实施更加容易，而且节省了固定成本，提高了大众接受度。