关于悲观双层规划的理论、算法及其在委托代理问题中的应用研究

Bilevel program is a two-level hierarchical optimization problem. It plays a very important role in many fields such as management and economy. Pessimistic bilevel program is a kind of robust reformulation for avoiding the ambulance induced by the case that the lower-level program has multiple optimal solutions, where the leader protects himself/herself against the worst possible situation. Different from the case that the upper-level constraints are the system of equalities and inequalities in the literature, this project focuses on a class of pessimistic bilevel programs (PBLP) where the upper-level constraints are dependent of the optimal value function of the lower-level program. The motivation to study the PBLP is that a class of fundamental economic problem (principal-agent problem) can be formulated as the PBLP and it may includes the general pessimistic bilevel program as a special case. Thus, studying the PBLP has important theoretical and practical significance. So far, there are very few results for the PBLP about the theoretical analysis and numerical methods and hence there are many open questions which are worthy to address. In this project, we consider the cases that the lower-level program is convex and nonconvex, respectively, and then give different reformulations for the PBLP. Based on these reformulations, we will study the existence of optimal solutions of the PBLP and the first-order optimality conditions for the PBLP in finite dimensional spaces and Banach spaces, respectively, and then we will develop numerical algorithms. Finally, we will apply the obtained results for the PBLP to the principal-agent problems.

双层规划是具有上下两层结构的等级优化问题，在管理、经济等众多领域有着广泛的应用。但是，当下层规划有多个最优解时，经典双层规划模型是有歧义的。悲观双层规划是一种消除歧义的鲁棒再定式，它考虑到下层可能做出对自己最坏的选择。有别于文献中考虑上层约束为等式和不等式约束，本项目将研究上层约束与下层问题最优值函数有关的悲观双层规划（PBLP）。研究它的最初动机是一类基本经济学问题（委托代理问题）可以建模为PBLP，而且它包含一般悲观双层规划作为特例，因此研究PBLP具有重要的理论价值和现实意义。截止目前，关于PBLP理论和算法的研究成果很少，故而有很多问题值得去研究。本项目分别考虑下层问题是凸问题和非凸问题的情形，并依此给出PBLP的不同再定式，然后基于这些再定式，分别在有限维空间和Banach空间研究它的最优解存在性理论和一阶最优性理论，并进一步开发有效算法，最后把所得结果应用到委托代理问题。

本项目研究了悲观双层规划问题（PBLP）的一阶最优性条件、数值算法和在委托代理问题中的应用。截至目前，已在 Mathematical Programming，SIAM Journal on Numerical Analysis 等国际知名SCI期刊上发表6篇论文，研究成果丰富了数学规划理论，受到了国内外同行的密切关注和高度评价。. 因为 PBLP 可以等价再定式为一个非李普希兹规划问题，所以我们首先利用变分分析工具建立了非李普希兹规划问题的最优性理论。当非李普希兹函数关于决策变量可分离时，利用分离性并借助普通非线性规划问题的已有理论结果，我们建立了非李普希兹规划的一阶最优性理论和精确惩罚理论。对于一般的非李普希兹规划问题，我们提出了两个与目标函数有关的规格条件，然后分别证明了它的局部最优解是KKT点。同时利用一些证明技巧，我们还给出了保证精确惩罚成立的充分性条件。作为扩展，我们还研究了双层最优控制问题的一阶最优性条件。而且，我们改进经典增广拉格朗日方法来求解非李普希兹规划问题。在某一可行解可知的假设条件下，我们证明了新算法产生序列的任何聚点都是可行的。对于非李普希兹函数关于决策变量可分离的情形，当一个限定约束系统满足合适的规格条件时，我们证明了任何聚点还都是KKT点。另一方面，对于一般的非李普希兹规划问题，在一个增广的规格条件下，我们也证明了任何聚点都是KKT点。最后，我们把发展的非李普希兹规划问题的理论和算法应用到PBLP。作为一个相关研究，通过分离下层问题的连续变量和整数变量，并利用双层规划问题的价值函数再定式，我们把带有整数变量的双层规划问题等价再定式为一个单层的混合整数均衡约束数学规划问题。. 处理委托代理问题的流行技巧是所谓的一阶条件方法，我们减弱了保证委托代理问题一阶条件方法成立的充分性假设。而且通过利用委托代理模型，我们分析了电力市场重组问题中的定价问题，并分析了在供应链中如何管理没有直接经济合同关系的远端供应商。