变区域上非线性偏微分方程解的动力学行为研究

It is well known that the evolutionary equations defined on time-varying domains widely come from many areas such as control theory, biological mathematics, options pricing and so on. Such time-varying domains may lead to many difficulties for dynamical systems because of their inherent characteristics, but there are enough firm results available assuring that the corresponding study are meaningful and necessary. This project will further consider the dynamics of evolutionary equations on such domains which are proposed by Prof. P.E. Kloeden as two types of open problems, including two main aspects: The first one is to study the dynamics for a complex Ginzburg-Landau equation and the nonlinear weakly dissipative wave equations on two special time-varying domains including critical exponent and asymptotical regularity of solutions; The second one is to consider the issue of dynamical behavior of solutions (in particular, whether the solutions are synchronous or the attractors are periodical and convergent) by using the way of analyzing the characteristics of variable domains. This research work, no matter for the source of the problem, or for the development of the theory of infinite dimensional dynamical systems and applications, will have a positive role in promoting for the dynamics.

定义在变区域上的发展方程广泛来源于控制论、生物数学和期权定价等诸多领域，其对应的动力系统具有非自治特征的固有性，从而给相应动力学行为研究带来很多特有的困难。本项目拟针对无穷维动力系统专家P.E. Kloeden教授等提出的两类开问题，对变区域上的发展方程的动力学行为进行研究。主要包括：（1）复Ginzburg-Landau方程和非线性弱耗散波方程分别在两类具体变区域上的动力学行为刻画，包括相关临界指数问题、渐近正则性问题等，部分的回答P.E. Kloeden等人提出的相关开问题；（2）研究区域的变化对方程解的动力学行为产生的影响，包括解过程的同步、吸引子的周期性和收敛性等问题，通过引入区域变化这一新因素为吸引子的结构刻画提供新的切入点。这些研究工作的开展，无论是对源问题的深入理解，还是对无穷维动力系统理论和应用的发展，都将有积极的推动作用。

现代社会中的众多研究领域涌现出越来越多的变区域问题。例如生态学中的自由边界问题、天然气水合物开采中的Stefan问题以及非常规油藏渗流中的移动边界问题。同时，空间区域关于时间的依赖性给此类方程的研究带来本质性困难。在此背景下，本项目对以下问题进行了研究：①同胚型变区域上临界指数非线性弱耗散波方程。首先证明强解及弱解的存在唯一性，通过能量耗散估计克服临界指数带来的困难，进一步建立解系统的拉回吸引子和周期型拉回指数吸引子。②单调区域上CGL(复Ginzburg-Landau)方程及PCGL(P-Laplacian复Ginzburg-Landau)方程。证明满足能量等式变分解的唯一性及其判定定理，利用惩罚法证明满足能量等式的变分解的存在性。通过逼近解进行能量耗散估计进而建立系统的拉回吸引子。在此基础上结合Vitali紧性判别法证明吸引子的高阶可积性。③变区域上多项式增长型反应扩散方程指数吸引子。通过Alikakos-Moser-型迭代建立解关于初值的L无穷估计以克服多项式增长带来的困难。采用拟稳定的思想建立指数吸引子存在性定理，并以此证明变区域上的抛物系统存在拉回指数吸引子，证明其L-无穷分形维数有限及L-无穷吸引性。进一步，借助此L-无穷估计建立惯性流形。④同胚区域上CGL方程解的适定性问题及解的长时间行为问题。证明解的适定性问题，进行能量耗散估计，建立解过程的拉回吸引子。同时，项目组成员展开对本项目相关衍生问题的研究，主要包括：⑤非局部弱耗散波方程解的动力学行为。通过渐近先验估计结合拟稳定性的方法，证明系统存在一致指数吸引子并建立其光滑性。⑥对于时滞发展方程等进行动力学行为研究，建立相关系统的吸引子等结果。本项目取得的研究成果是丰富的，且具有一定的应用价值。本项目共完成科研论文13篇，其中6篇已正式发表，1篇收录，1篇处于Decision In Process，1篇revised，4篇已投稿。同时，还有多项研究正在进行中。