带有变系数的非线性抛物方程解的渐近行为

In this project, we study two kinds of nonlinear parabolic equations with variable coefficients. First, we establish the critical Fujita exponents and precisely divide the index region according to the existence and nonexistence of global solutions. Then we give the secondary critical exponent on the decay asymptotic behavior of an initial value at infinity and rigorously classify the initial data on the basis of the existence and nonexistence of global solutions, which and critical Fujita exponents very completely describe the asymptotic behavior of the solutions. Finally, we study the blow-up rates and blow-up set, and analysis the effect of variable coefficients.

本项目研究两类带有变系数的非线性抛物方程，首先建立临界Fujita指数，按解的整体存在和爆破性对指数区域作一个精确划分，其次根据初值在无穷远处的衰减行为建立第二临界指数，同样根据解的整体存在和爆破性对初值严格分类. 从而和临界Fujita指数一起非常完整地刻画解的渐近性态. 最后研究爆破速率和爆破集，使我们深刻认识变系数对解的影响.

本项目研究来源于几何、物理、生物以及其它领域的一些带有变系数的非线性抛物方程的渐近行为. 首先建立了临界Fujita指数，按解的整体存在和爆破性对指数区域作一个精确划分，其次根据初值在无穷远处的衰减行为建立了第二临界指数，同样根据解的整体存在和爆破性对初值严格分类, 从而和临界Fujita指数一起非常完整地刻画解的渐近性态. 从我们结果可看出变系数对解的大时间行为有着深刻的影响。此外我们还开展了以下三方面研究：1.采用Scaling方法研究了具有耦合边界流的热方程组的爆破估计；2.研究了一类具有强吸收项的抛物方程的行波解和交界面；3. 研究了一类弱耗散的MCH2系统的爆破行为。本项目的研究为以后研究工作的扩展与深化奠定了基础。