非线性偏微分方程解的渐近性态研究

It is undoubtedly meaningful to understand the characters of nonlinear systems on the condition that we study the properties of the partial differential equations by exploring the equations themselves directly without any explicit solutions. In this project, we investigate the asymptotic behaviors of solutions to the partial differential equations that originate mainly from the control theory, the anomalous diffusion fluid and so on by applying the ideas and methodology developed in nonlinear analysis and infinite-dimensional dynamical systems. Concerning the partial differential equations defined on non-cylindrical domains, we study its asymptotic behaviors by characterizing the corresponding attractors and the relative problems, establish the particular dynamical theory, explore a priori estimates for this kind partial differential equations, investigate the variation of the structure of attractors by constructing some special equations and domains, and push the development of infinite-dimensional dynamical systems. With respect to the asymptotic behaviors of nonlocal partial differential equations, we focus firstly on the critical 2D surface quasi-geostrophic equation by studying the open problem about the limitation of anomalous dissipation of kinetic energy as the kinematic viscosity goes to 0, the long time average of solutions and the existence and its regularity of the attractors for the case that the kinematic viscosity is fixed; then we establish some new frameworks and methodology which can and will manifest the characters of nonlocal. The results of this project will have significant impacts not only on the deep understanding of the original application problems, but also on the development of theory as well as applications for nonlinear analysis and infinite-dimensional dynamical systems.

在不求解偏微分方程的情况下能直接由方程来研究其解的性质，无疑对了解非线性系统的整体特征有重要的指导意义。本项目就是运用非线性分析和无穷维动力系统的思想方法对来自控制论、反常扩散流体等领域的耗散偏微分方程解的渐近性态进行深入研究。对定义在非柱形区域上的偏微分方程，将研究所对应的无穷维动力系统的吸引子相关问题，建立研究该类方程吸引子问题的针对性理论框架，探索处理这类方程的先验估计方法，并通过构造具体方程和区域来研究吸引子的结构变化，丰富无穷维动力系统的理论和方法。对非局部方程，先重点研究临界2D拟地转方程，将围绕解决黏性系数趋于 0 时解的长时间平均极限这一公开问题展开，并研究固定耗散系数时解的长时间平均、吸引子的存在性和正则性问题，再建立能反映这类方程特性的吸引子相关问题的研究框架和应用。这些研究工作的开展，无论是对应用问题的深入理解，还是对无穷维动力系统理论和应用的发展，都将有积极的推动。

本项目主要致力于用非线性分析和无穷维动力系统的理论方法来刻画偏微分方程解的渐近性态，并通过具体问题的研究来启发我们发展和设计新的无穷维动力系统理论方法。.定义在非柱形区域上的偏微分方程主要来源于控制论、生物数学等领域。由于实际问题的需要以及数学处理具有的特殊困难，这类偏微分方程的数学理论研究一直受到广泛关注；此外，由于其非自治的固有性，这类问题的研究对动力系统理论具有更多挑战和意义。我们主要以具体的非柱形区域上的反应扩散方程、耗散波方程、耗散流体方程、Ginzburg-Landau方程以及相应的随机方程、退化方程为模型，研究了这些方程解的适定性问题、吸引子的存在性、渐近正则性问题；给出了一些处理这些偏微分方程的具体的先验估计，并推广应用到一些有重要实际背景的其它数学物理问题。这些工作已逐渐形成系统性的工作，并已受到同行的关注。我们相信这方面的工作会吸引更多同行的重视和参与。.临界2维面拟地转方程（即黏性项的阶数为）能反映出3D Navier-Stokes方程很多的性质和困难。在某种程度上可以说，对2维面拟地转方程的研究是一个人们在近十多年发现的可能启发3D Navier-Stokes问题研究的新的切入点，因此受到人们的高度关注。我们主要研究了临界情形的逼近问题，给出了临界情形的一些新的先验估计；对于固定黏性耗散系数的情形，我们给出了修正模型的整体吸引子的存在性；围绕这一主题，我们对一些具有代表性的分数阶方程（如2D Navier-Stokes方程、反应扩散方程）给出了相应的黏性系数趋于0时解的长时间平均极限刻画以及吸引子的存在性和渐近正则性刻画。