脉冲时滞微分方程的周期解及数值计算问题研究

Impulsive delay differential equations are applied in many fields, such as continuous mechanics, population ecology, electronics, nuclear reactor dynamics and modern control theory and so on. It is of very important significance to study the theory and applications of impulsive delay differential equations. So far, the periodic solutions and the periodic boundary value problems of Impulsive Differential Equations with delay had been extensively studied by many experts and scholars, but adopted method is usually fixed point theory. However, the reference about studying impulsive delay differential equations via critical point theory is rarely. In addition, few scholars considered the numerical solutions and the convergence and stability of solutions for impulsive delay differential equations while studying the existence of periodic solutions for these equations. The purpose of this project is to research the existence and multiple of periodic solutions for several classes of impulsive delay differential equations using critical point theory, to outstand the research of periodic solutions generated by impulses, and to reveal the actual impact of the time delay and impulse disturbance on periodic solutions. The number of solutions will be estimated by the geometrical index theory, and the numerical calculation of periodic solutions for impulsive delay differential equations and their stability and convergence will also be studied.

脉冲时滞微分方程在很多领域具有广泛的应用，如连续力学、种群生态学、电子学、核反应堆动力学及现代控制论等等，研究脉冲时滞微分方程的理论和应用具有非常重要的意义。到目前为止，许多专家学者对脉冲时滞微分方程的周期解、边值问题等方面进行了广泛地研究，但采用的方法通常是不动点理论，而用临界点理论研究脉冲时滞微分方程的文献很少。其次，也很少有学者在研究周期解存在性的同时，考虑此类方程的数值解及其稳定性和收敛性问题。 本项目旨在利用临界点理论研究几类脉冲时滞微分方程周期解的存在性与多解性问题，突出由脉冲生成周期解的问题研究，揭示时滞和脉冲扰动对周期解的实质影响，并利用几何指标理论对解的个数进行估计，同时对脉冲时滞微分方程周期解的数值计算及其稳定性与收敛性问题进行研究。

本项目研究了几类非线性脉冲时滞微分方程周期解的存在性和多解性问题。首先将临界点理论应用到几类脉冲时滞微分方程的求解问题中，成功建立了一类脉冲时滞微分方程的变分结构，得到该方程存在周期解的几个充分条件；并将该类脉冲微分方程中带时滞和不带时滞的情形进行了比对，分析了时滞对脉冲微分方程周期解的存在性的作用。其次利用临界点理论研究一类时滞微分方程存在由脉冲生成的周期解，得到了解存在的一些充分条件，考虑当脉冲与时滞同时起作用时，方程解的个数变化。. 本项目也研究了脉冲微分方程在生物数学中的一些应用问题。首先研究了恒化器中一类生物生长的动力学行为，采用一个特定的抑制摄取函数，与单调增加吸收函数的模型不同的是：我们发现抑制动力学可以诱导非常复杂的动力学过程，包括稳定的平衡点、周期解和混沌（通过倍周期形成）。特别地，当输入恒化器中营养液的浓度大于上盈亏平衡浓度值时，模型显示出三种类型的双稳态：一个稳定的平衡点与另一个稳定的平衡点或与稳定的周期解或与混沌吸引子共存。而当吸收函数单调递增时，这种双稳现象永远不会发生。其次我们研究了恒化器中多种生物竞争生长的动力学行为，对营养液的浓度分两种情况进行讨论，显示了很丰富的动力学行为。研究结果表明，优胜者是能够以最低的营养浓度生长的种群，而且也表现出三种类型的双稳态。其次我们也研究了微分方程在基因表达中的应用，例如基因表达过程中能量消耗原理和DNA环路相互作用的自由能消耗原理，揭示出基因表达几个重要过程的能量消耗的一些一般性规律，有助于理解细胞的内部过程，可为新药开发、合成生物学等奠定理论基础。. 本项目的研究结果丰富了临界点理论和脉冲微分方程定性理论，进一步地推进临界点理论的实际应用。.