时滞微分方程的周期解问题

Periodic solution theory mainly concerns with the existence and stability of periodic orbits. A very important and significant topic is to find periodic solutions to differential equations which can not be solved explicitly and to study their stability. This project mainly investigate the existence, uniqueness, multiplicity and stability of periodic solutions to delay differential equations. It consists of three parts. First, existence of periodic solutions of delay differential equations with prescribed minimal period, including the minimality of the period of periodic solutions, uniqueness of periodic solutions and multiplicity of periodic orbits with the same period; Second, stability of periodic sultions to delay differential equations； And finally, applications of delay differential equations to mathematical models derived from molecular biology. There have been a lot of works on periodic solutions to delay differential equations, only a few results are concerned with minimality of period, uniqueness and multiplicity of periodic solutions. No systematic theory and methods are built to deal with such problems. Nevertheless, there is a close relationship between Hamilton systems with special symmetric groups and delay differential equations. Therefore, the purpose of this project is to apply comprehensively the theory of delay differential equations, Fourier Analysis, critical point theory and modern nonlinear functional analysis to study systematically these topics,so as to obtain creative results, and then to apply them to the study on the mathematical models in molecular biology.

周期解理论是运动周期轨道的存在性和稳定性的理论。对于不能求解的运动方程寻找其周期解并研究其稳定性一直是微分动力系统的一个重要研究课题。本项目研究时滞微分方程周期解的存在性、唯一性、多重性和稳定性问题。主要内容包括：一、时滞周期运动的最小周期问题，即如何证明周期轨道周期的最小性以及周期解的唯一性和具同一周期的轨道的多重性问题；二、时滞周期运动周期解的稳定性问题；三、时滞微分方程在分子生物学数学模型的应用。关于时滞微分方程周期解的研究成果虽然很多，但涉及给定最小周期的周期解存在性、唯一性和多重性的研究却相当少，远未形成系统的理论。而具有特殊对称群的Hamilton系统与时滞微分方程有密切的关系。因此本项目计划综合应用时滞微分方程理论，Fourier分析方法，临界点理论以及现代非线性泛函分析等工具对以上内容进行系统研究，获得创新性强的研究成果，然后将研究成果应用于具体的分子生物学数学模型中。

本项目在时滞微分方程周期解的存在性，时滞反应扩散方程Hopf分支问题，利用Wolbachia氏菌阻断伊蚊传播登革热病毒的数学模型，微分方程在基因表达和转录随机性方面的应用等方面进行了深入系统和广泛的研究，完善了时滞微分方程的周期解理论，特别是时滞反应扩散方程的周期解与Hopf分支理论，发展了新的研究方法，对利用Wolbachia氏菌控制蚊媒传染病建立了新的数学模型，提供了理论基础。对基因表达和转录随机性给出了新的刻画。..具体地说，对一类重要的时滞微分方程通过发展新的方法，给出了至多有一个周期为4 的 Kaplan-Yorke 型周期解的充分条件，首次改进了著名学者 Nussbaum的唯一性结果；对于一类非局部时滞反应扩散方程，得到了关于空间非齐次稳态解稳定性和Hopf分支的分支图；研究了一类带有Holling II 型功能反应项的扩散的捕食-被捕食模型，其中捕食者的单位增长率是非线性的。分析表明，当捕食者和被捕食者的相互作用强时，非常值稳态解不存在；当捕食者和被捕食者的相互作用弱时，常值平衡点是全局吸引的。研究了一类非局部的捕食-食饵模型，证明了当转化率很大时稳态解的存在唯一性。利用转化率作为参数，研究了常值稳态解附近的Hopf分支，这个现象同局部的模型有本质的区别。..为控制登革热的传播，考虑了随机环境下Wolbachia在蚊群中的扩散。假定环境在两个不同的子环境中随机切换，得到了随机环境下Wolbachia成功扩散的充分条件。建立了感染Wolbachia细菌的蚊群在空间传播的动力学模型。研究了扩散对Wolbachia在空间中传播行为的影响。通过分析与模拟，发现扩散能较大地扩大完全感染平衡点的吸引域，从而降低使Wolbachia成功入侵整个自然蚊子种群的感染频率阈值。这些结果对具体的蚊虫释放策略给出了合理的建议。