脉冲时滞微分方程周期解、同宿轨及其相关问题研究

Impulsive delay differential system is an important branch of nonlinear fields. Periodic solutions and homoclinic orbits are one of the most important research fields of impulsive delay differential equations. This project will focus on the following contents: 1、the variational structure of impulsive delay differential systems are established；2、the existence、uniqueness or multiplicity of periodic solutions for impulsive delay differential systems are discussed; 3、the existence、uniqueness、multiplicity or nonexistence of impulsive delay differential systems are investigated; 4、the stability of impulsive delay differential equations are studied and the simulation of the solutions are given by using mathematical software MATLAB. Some new mathematical tools and theories are developed and improved; some new techniques and methods are used; some new theoretical results will be obtained for impulsive delay differential systems, which will play an important role in the research of impulsive delay differential systems .

脉冲时滞微分系统是非线性领域的一个重要分支。周期解和同宿轨问题是脉冲时滞微分系统最重要的研究领域之一。本项目将围绕以下问题展开研究：1、脉冲时滞微分系统变分框架的建立；2、脉冲时滞微分系统周期解的存在性、唯一性或多重性；3、脉冲时滞微分系统同宿轨的存在性、唯一性、多重性或不存在性；4、系统解的稳定性并用数学软件MATLAB对所得到的理论成果进行计算机仿真。发展和完善一些新的数学工具和理论，寻求和启用一些新的方法和思路。建立脉冲时滞微分系统的一些全新的具有本质性的理论成果，这些成果将为脉冲时滞微分系统的研究提供一些理论依据。

关于同宿轨道的研究是一个古老而又经典的问题，而脉冲时滞微分系统的同宿轨道问题是一个非常重要的研究方向，因为同宿轨道可以引起系统发生分叉或是混沌，其在许多方面都有重要的应用，如在非线性物理学、电子工程、计算生物学、化学、数量经济学等领域都有同宿轨道的踪影。而快速同宿轨呈指数衰减，衰减速度很快，其在研究系统的动力学行为中具有重要作用。本项目主要研究了几类系统同宿轨的存在性与多重性问题，并获得了一些结果，具体为：1、研究了一类具振动阻尼项的脉冲微分系统，通过建立系统相应的变分框架，并利用临界点理论，获得了此类系统快速同宿轨的一些存在性结果；2、研究了一类差分系统的同宿轨问题，通过建立此类系统的变分框架，进而利用临界点理论，得到了这类系统在同宿轨存在性方面的一些成果；3、研究了一类具阻尼振动项的二阶系统的快速同宿轨问题，利用山路引理和对称山路引理，得到此类系统快速同宿轨存在性与多重性的一些结果；4、研究了一类二阶系统快速同宿轨问题，获得了此类系统快速同宿轨的一些存在性结果。