Fitzhugh-Nagumo方程和抛物型方程组的时间最优控制问题

This project is concerned with time optimal controls of Fitzhugh-Nagumo equation and parabolic systems, where the controls are acted on interior of the domain. Moreover, the control constraint is in the pointwise form. Pointwise constraint is not only an important constraint of time optimal control problems, but also a frequently used constraint in applications including numerical calculations. By establishing maximum prinicple of time optimal controls of Fitzhugh-Nagumo equation, we aim to derive necessary and sufficient conditions of time optimal controls and optimal time. Therefore, solid theoretical basis can be laid for numerical calculation of time optimal controls and optimal time. Then we attempt to calculate them. Moreover, by studying existence of time optimal controls and maximum principle of time optimal control problems governed by parabolic systems, we hope to understand differences between time optimal control problems when one or two controls are acted on, and then obtain the relations between two optimal times. Thus, we not only fill the blank of time optimal control problems on this issue, but also provide theoretical support for time optimal controls in practical applications. After all, exerting more controls means enormous investment of human, material and financial resources.

本项目拟开展关于Fitzhugh-Nagumo方程和抛物型方程组的时间最优控制的研究，其中，控制作用在空间区域的内部，控制约束为逐点约束。逐点约束不仅在理论上是时间最优控制中的一类重要约束情形，而且还是实际应用包括数值计算中常常使用的一种情形。本项目的目的是通过建立Fitzhugh-Nagumo方程时间最优控制的最大值原理，导出时间最优控制和最优时间满足的充分必要条件，从而为时间最优控制和最优时间的数值计算实现奠定坚实的理论基础，并尝试对其进行数值计算。另一方面，希望通过对抛物型方程组时间最优控制的存在性和最大值原理的研究，了解在方程组中施加一个控制与两个控制在时间最优控制问题上的差异，得到相应的两个最优时间差的定量刻画，这样，不仅填补了时间最优控制问题在这一方面上的空白，而且为时间最优控制在实际中的应用提供了理论上的支持。毕竟，施加多的控制意味着大量的人力、物力和财力的投入。

本项目一方面开展了关于抛物型方程（组）与Burgers方程的时间最优控制问题bang-bang性的研究，其中控制作用在空间区域的内部，通过线性抛物方程可测集上的能观性不等式与不动点理论，我们得到了相应时间最优控制问题的bang-bang性；另一方面，研究了时间最优控制问题（或范数最优控制问题）的bang-bang性是如何依赖于控制的界与初值（或时间与初值），其中系统既可以没有L^\infty-零能控也可以没有倒向唯一性。. 其次，对于线性常微分方程的时间最优控制问题给出了计算最优时间的一种算法，通过时间最优控制问题与范数最优控制问题的等价关系，将最优时间的计算转化为求解一列范数最优控制问题，而范数最优控制问题可转化为相应的拉格朗日对偶问题。. 最后，我们分两种情形对一类抽象的发展方程建立了时间可测集上的能观性不等式，对于第一种情形利用解析函数的小量传播估计以及构造电报级数的方法得到了所需要的不等式；对于第二种情形，先得到一点处的插值不等式，然后借用该不等式，我们得到所需要的能观性不等式，这里所得到的能观性不等式可用于讨论几类微分方程时间最优控制问题的bang-bang性。