基于Pontryagin最大值原理的某些偏微分方程的参数误差估计

分布参数系统的最优控制理论研究在实际中的应用已越来越引起了人们的重视。本项目拟运用分布参数系统最优控制的Pontryagin最大值原理开展某些偏微分方程的参数误差估计研究，这些方程包括：椭圆方程，抛物方程以及Stokes方程，其中参数出现在这些方程中的高阶项。该问题是反问题中的一类重要问题，在工程与医学上有广泛的应用背景。目前，关于该问题的研究尚处于起始阶段。我们将这些方程中待识别的参数视为控制，将利用Tikhonov正则化方法得到的极小化问题与其离散后的极小化问题分别视为最优控制问题及其离散后的最优控制问题，建立它们相应的Pontryagin最大值原理，然后借用Pontryagin最大值原理，得出参数的误差估计。这是人们以往研究偏微分方程的参数误差估计从未用过的方法。

分布参数系统的最优控制理论研究在实际中的应用已越来越引起了人们的重视。本项目首先研究了二阶椭圆方程与抛物方程的参数识别问题，其中参数出现在这些方程中的高阶项。该问题是反问题中的一类重要问题，在工程与医学上有广泛的应用背景。我们利用Tikhonov正则化方法将原参数识别问题化为极小化问题，然后利用有限元将其离散，通过分析，得到了待识别参数关于网格大小、时间步长、正则化参数以及扰动大小的误差估计。. 其次，本项目研究了对于带有终端状态约束的热方程的最优控制问题的有限元逼近问题，其中，状态约束集合在状态空间中无内点。针对此问题，我们提出了一种新的有限元逼近方法：通过构造一个新的罚泛函，其中的参数与网格大小以及时间步长有关，基于此，将原问题化为没有状态约束的离散的最优控制问题；然后借用Pontryagin最大值原理以及适当地选取网格大小与时间步长，我们得到了最优控制问题与离散化最优控制问题的最优控制关于网格大小与时间步长的误差估计。. 最后，时间最优控制问题自上世纪五十年代至今一直是数学界和工程控制领域专家十分关注的问题之一。之所以如此，在很大程度上是受到其在工程技术领域，工农业生产等实际应用中产生的迫切需要所推动的。我们借用分布参数系统最优控制的Pontryagin最大值原理，建立了来源于生物医学的Fitzhugh-Nagumo方程时间最优控制问题的bang-bang原理，热方程时间最优控制问题中最优时间与最优控制的充分必要条件，其中这两个工作关于控制均是逐点约束的情形。而且，通过研究带势的线性热方程的能观性估计，其中时间是取在一个正的可测集上的，我们得到了半线性抛物方程时间最优控制问题的bang-bang原理，这是目前这方面的唯一结果。