Monge-Ampère 方程数值算法的研究

Monge-Ampère equations are typically fully nonlinear partial differential equations. They arise from optimal transportation, reflection antenna, conformal geometry, and etc. Due to the strong nonlinearity, the standard numerical methods including finite element method, finite difference method and variational minimization method do not directly work here. To overcome the difficulty, this project will propose new algorithms to deal with these equations. It consists of three parts: (1) to develop and analyze finite difference methods for approximating general solutions of Monge-Ampère equations; (2) to construct interior penalty finite element schemes and interior penalty discontinuous Galerkin schemes for Hessian equations in three dimensions as well as to establish the error estimates; (3) to derive numerical algorithms for parabolic type Monge-Ampère equations. This project will not only enrich and perfect the algorithms for fully nonlinear equations, but will also promote the theoretical development of these equations.

Monge-Ampère方程是一类典型的完全非线性偏微分方程，它们来源于最优传输、反射天线和共形几何等。从计算数学的角度来看，由于Monge-Ampère方程的完全非线性，人们熟知的有限元法、有限差分法和变分极小法等不能直接适用于求解该类方程，往往需要加入新的限制。为克服上述困难，本项目将设计新的数值算法来处理这类方程，主要包含以下三部分内容：（1）基于有限差分法，构造稳定收敛的数值格式来逼近Monge-Ampère方程的测度解；（2）分别采用内惩有限元法、内惩间断有限元法来数值模拟Hessian方程，并推导相应的误差估计；（3）探讨抛物型Monge-Ampère方程的数值算法。本项目不仅丰富和完善了完全非线性方程数值解的相关算法，还可以促进这些方程理论方面的研究。

经典几何和凸体几何中很多重要问题的研究往往导致完全非线性方程的出现，而Monge-Ampère型方程是一类最重要的完全非线性几何偏微分方程。本项目主要探讨了这类方程的数值算法。 研究Monge-Ampère型方程数值解，关键要保持解的凸性，且由于该方程的完全非线性，熟知的有限元法、有限差分法等不能直接适用于求解该方程。 本项目克服了上述困难，主要解决了如下三个问题：（1）通过选初值，确定迭代步长，作局部凸包等步骤，就Monge-Ampère方程的测度解提出了稳定、收敛的数值算法；(2) 将Hessian方程线性化，构造了内惩有限元数值格式来间接求解该完全非线性方程，并给出了收敛阶；（3）将时间离散化，利用欧拉向后格式来数值模拟抛物型Monge-Ampère方程。数值试验结果表明我们的算法是有效的。唯一不完善的是，我们没有给出Monge-Ampère方程测度解相关算法的误差分析。希望发展和完善完全非线性方程的数值理论，同时为这类方程在理论方面的研究提供新的技术和看法。