多组变量最大相关问题的数值方法及相关理论研究

本项目研究多组变量相关分析中导出的最大相关问题（Maxbet）。该类问题在统计学、数据分析、社会科学、心理计量学、生物学等领域有深刻背景。本项目的基本目标是发展有效的数值方法并研究相关的基本理论。与Maxbet紧密相关的多元特征值问题也是本项目的研究内容。本项目将研究多元数值域，以此为工具对多元特征值给出定域。对P-SOR方法给出一种初始选择策略，以保证方法收敛到Maxbet解。还将把微分几何思想与序列二次规划方法相结合发展求解Maxbet的新方法。

最大相关问题（MCP)分析多组变量之间的相关性，在很多领域（例如多元统计和数据处理）有重要应用。使用Lagrange 乘子理论，MCP的解满足的一阶最优性条件为多元特征值问题（MEP).本项目研究MCP 的数值方法及相关理论，取得的几项主要成果如下。首先，我们对MEP建立了敏度分析理论，为进一步进行数值分析研究打下基础。其次，借用求解偏微分方程的多网格思想，提出了求解MCP的一种新方法。数值试验结果表明，这种新方法获得全局解的概率比已有的方法都大。再次，我们对Horst 方法、P-SOR方法和交替变量法的单调收敛性给出了统一的简单证明，还改进了已有的部分成果。最后，我们提出了几种初始策略，理论分析和数值试验结果都表明，这些策略有助于提高迭代法的收敛速度和获得全局解的概率。