向量值边值问题最大正则性及相关问题

在本项目中，我们将研究取值于Banach空间中的几类边值问题的最大正则性及温和正则性，这些研究具有深刻的理论意义及广阔的应用背景，事实上很多实际中遇到的偏微分方程都可以抽象为取值于某一Banach空间的边值问题。我们将研究几类一阶边值问题和二阶边值问题的最大正则性及温和正则性，对应的边值条件可以是周期边值条件，也可以是Cauchy边值条件。我们将试图给出这些边值问题具有最大正则性及温和正则性的充分条件或必要条件，研究这些边值问题最大正则性和温和正则性与问题所在的Banach空间几何性质的内在联系。我们研究这些边值问题最大正则性及温和正则性的工具为向量值函数空间上的算子值傅里叶乘子定理，事实上我们将这些边值问题的最大正则性及温和正则性问题自然地转化成为一个算子值傅里叶乘子问题。另外我们还将研究最大正则性及温和正则性与问题所在函数空间的参数的无关性。

在本项目里，我们研究了几类向量值退化时滞微分方程在不同函数空间 的最大正则性问题，其中带有的时滞项可以是无穷时滞也可以是有限时滞，考虑的函数空间可以是Lebesgue-Bochner空间，可以是周期Besov空间，也可以是周期Triebel-Lizorkin空间。我们将这几类问题的最大正则性问题自然地转化成为相应向量值函数空间上的算子值傅里叶r乘子问题，利用已有的向量值函数空间上的算子值傅里叶乘子定理，我们给出了这些问题在相应函数空间具有最大正则性的充分条件、必要条件或者充分必要条件。我们将得到的抽象结果应用到很多具体的退化时滞微分方程上，给出了这些退化时滞微分方程在不同函数空间中具有最大正则性的充分条件、必要条件或者充分必要条件。另外，我们还研究了Banach空间中非空闭凸子集上的不动点定理，得到了Krasnoselskii型不动点定理，该定理可以成功地应用到一类Hammerstein积分方程中，给出该类方程解的存在性的刻画。