乘积Stiefel流形上分式最优化问题的数值解法研究

This project focuses on a class of constrained fractional optimization problem, in which the objective function is the trace-ratio of matrices, and the feasible region is a product Stiefel manifold embedded in the matrix space. This kind of fractional programs arise in various applications including multivariate statistics and data processing. This is a typical nonconcave maximization problem with multiple local maxima and applying general-purpose programming algorithms cannot guarantee to obtain global maximizer. We will synthesize some ideas appearing in numerical algebra, multivariate analysis and fractional programs to develop efficient numerical methods for this kind of problems.

本项目研究一类具约束的分式最优化问题的数值解法。这类最优化问题的特点是：目标函数为矩阵的迹比，约束集为乘积Stiefel流形。这类最优化问题在多元统计和数据处理中有深刻应用背景。这是一类典型的非凸最大值问题，具有多个局部极大点，使用通常的非线性最优化方法无法保证获得全局解，且求解效率不高。本项目以数值代数为主要工具，结合分式最优化及多元统计的有关研究思想方法，发展求解这类最优化问题的有效方法。

本项目研究一类具约束的分式最优化问题的数值解法：目标函数为矩阵的迹比，约束为乘积Stiefel流形。这类问题在多元统计和数据分析中有深刻的应用背景。这是一类典型的非凸最优化问题，有多个局部极大点，使用通常的最优化方法无法保证获得全局解，而且求解效率低。本项目以数值代数为主要研究工具，结合分式最优化及多元统计的有关研究思想，针对这类最优化问题的数值解法开展了系统研究。取得的主要成果包括：研究了Maxbet的最优性条件及近似解的误差估计，提出了一种有效的数值解法；针对一般情形，利用Stiefel流形的特点，使用Dinkelbach技巧和Majorization思想，提出了一种有效解法；对于求解极大相关问题的几种迭代法，给出了单调收敛性的简洁统一证明，并得到了新的收敛结果；面向多元统计应用需要，对几种广义典型相关准则设计了有效数值解法。我们还利用目标函数的特性，为迭代法设计了初始点选取策略，数值实验表明，这些策略不但提高获得全局解的概率，而且有助于提高迭代法的收敛速度。