双曲守恒律及相关问题高精度数值方法研究

Computational Fluid Dynamics (CFD) play a very important role in defense and economics, and numerical method for fluid dynamics is one of core parts of CFD. Hyperbolic conservation law and its relative problems are important governing equations in CFD. In view of needs of practical problems, there exists an urgent requirement of the efficient and high resolution numerical methods which are suitable to solve the huge computational scale and the continuous growth in demand of high-order approximation accuracy. In order to meet the needs of the actual computation, this project is expected to make some innovative work in developing high-resolution algorithm for nonlinear hyperbolic conservation law and its relative problems. The project will focus on the development of high-order Hermite WENO and residual distribution methods for initial problems of nonlinear hyperbolic conservation law and its relative problems. There is few results on theory analysis for nonlinear high order numerical methods, we will try to do theory analysis on stability and convergence for high-order Hermite WENO and residual distribution methods.

计算流体力学在国防事业和国民经济中有着极其重要的应用，流体力学数值方法是计算流体力学的核心部分。双曲守恒律及相关问题是流体力学中的重要方程，由于实际问题的需要，数值计算的要求变得越来越高，不仅计算规模日益膨胀，而且计算精度也要不断提高。为满足这种实际计算的最新需求，本项目将致力于发展非线性双曲守恒律及相关问题高精度数值方法，重点发展求解初值问题的埃米特加权本质无振荡高精度方法以及高精度的残量分布方法；针对非线性高精度数值方法的理论研究成果稀缺，开展埃米特加权本质无振荡方法，高精度的残量分布方法的稳定性、收敛性等方面的理论研究。

在求解非线性双曲守恒律及相关问题高精度数值方法构造与理论研究方面等开展了卓有成效的工作, 在高精度加权本质无振荡（WENO）型算法构造和应用方面、间断Galerkin（DG）有限元方法的算法研究和应用取得了一些重要的研究成果。.构造一类二维和三维非结构网格的简便、高效有限体积WENO方法，该方法的主要特点是线性权与网格的几何拓扑无关，可以随意设定一组和为一的正数作为线性权，不再需要具体计算最优的线性权值即可在解的光滑区域保证格式的高精度，在解的非光滑区域保持基本无振荡的特性。由于不需计算线性权，该方法在非结构网格的情况下，比经典的WENO格式更加高效、简便，更适合于实际工程应用。提出了一类求解双曲守恒律的高阶中心HWENO数值格式，该类格式为基于交错网格的中心有限体积格式，并使用HWENO重构作为空间离散。构造了基于维数分裂的守恒型半拉格朗日HWENO格式求解动理学Vlasov-Poisson方程组。将LDG与HWENO相结合，构造了一类具有LDG和HWENO格式的优点的求解KdV型方程的格式。将简便、高效的WENO方法与RD方法有机地结合起来，构造了求解定常问题的双曲守恒律，该方法具有可采用任意线性权、残量分配简便的优点。关于半隐半显时间离散的LDG方法，我们解决了各种数值实现的困难，并克服了非线性扩散系数，非周期边界条件，高维和广义交错通量带来的理论分析困难。关于显式RKDG方法，我们系统地解决了全离散格式的L2模稳定性问题。利用矩阵分析技巧，我们可以借助停机指标和贡献指标，指出RKDG格式的不同稳定性表现。在上述工作的基础上，我们将DG方法应用于Sobolev方程、不可压混溶驱替问题和不可压Navier-Stokes方程，并取得满意的理论结果。首次将移动网格DG方法应用于求解双曲守恒律和辐射输运问题，与其它的移动网格方法相比，该方法不需要进行守恒型插值，数值解效果更好，分辨率高，可以有效的捕捉到间断。 发表论文33篇，培养了1名博士后、4名博士和4名硕士。