变指数鞅空间及其应用

In recent years, the variable Lebesgue function spaces and Sobolev spaces have been got more and more attention in differential equation theory, functional analysis and some other subjects. It not only spreads the scope of classical theory, but also has obviously applied background. Nevertheless, as a subject which closely contacts with them, the research results are almost empty in martingale theory. According to our initial observe and study, really there are several barriers which makes the research on variable exponent martingale spaces slow down. Now we recognize them and the goal of this project is to develop some methods to establish a series theorems on martingale Orlicz-Musielak spaces including martingale Lebesgue-Hardy spaces with variable exponent . Especially, (1) we will study the basic properties of martingale Orlicz-Musielak spaces including martingale Lebesgue-Hardy spaces with variable exponent and establish some basic inequalities which are suitable to use in new spaces. (2) Explore the conditions under which the famous classical martingale inequalities hold and more general sublinear operators are bounded on the spaces. (3) Investigate the existence of atomic decompositions in such spaces and their duals. (4) Explore the interpolation spaces and weighted spaces between such spaces and their applications to harmonic analysis. (5) Do the similar study for Banach-space-valued martingales and non-commutative martingales. This project is an extension of our early work, but its method shall be different from of function space with variable exponent and of classical martingale space, it is necessary to open a new route. This research shall start a new chapter in martingale space theory.

近年来变指数函数空间在微分方程、调和分析等领域得到越来越多重视。它既扩展了经典理论的范围，又有明显的应用背景。但在与之紧密联系的鞅论中，相关研究几为空白。原因是确有几大障碍现有方法无法逾越。现在我们初步找到了它的症结，本项目就是为了进一步开发解决这些问题的方法，建立变指数鞅空间及Orlicz-Musielak鞅空间的相应理论。我们将着重研究以下内容：（1）变指数鞅空间与Orlicz-Musielak鞅空间的基本属性，建立适用于该类空间的基本不等式。（2）鞅论中一系列著名不等式在该类空间成立的条件及一般次线性算子的有界性。（3）原子分解的存在性与共轭空间的表现。（4）探讨鞅空间与算子的内插，加权不等式及其在调和分析中的应用。（5）对于B值鞅与非交换鞅做类似的考察。本项目是我们以往研究工作的继续，但所用工具既与函数空间不同，也与经典鞅论不同，必须开辟新的渠道。该项研究将掀开鞅空间理论新的一章。

变指数函数空间近年来受到理论和应用方面的广泛重视，它在调和分析、函数空间、微分方程等领域的迅猛发展形成了一股热潮，在非线性弹性力学、非牛顿流体力学、电流学、图像恢复等实践领域应用的研究不断加深。相比起来与之有着紧密联系的变指数鞅空间理论却是成果了了。这是因为两者底空间基本结构的差异造成的。事实上变指数空间理论最擅长处理的是与具有非标准局部增长条件相联系的各种问题，那么在随机过程与金融数学等领域类似的问题大量存在，这就会用到概率空间上的变指数空间理论，特别是变指数鞅论。本项目就是在这样的背景下提出来的。. 该项研究的主要目的就是首先得到经典理论在变指数鞅空间的类比。包括空间的基本属性，基本不等式，变指数鞅空间相互之间的关系以及鞅空间上次线性算子的有界性，空间的加权、内插、共轭等。然后展开对于某些更专门问题的研究。. 经过几年来的努力，本项目得到了几项基本的和重要的成果：我们首先得到了条件期望的点态的Holder不等式和广义Holder不等式并且给出了在变指数空间鞅的按范数收敛的若干等价条件; 通过推广关于随机序列的 Dellacherie 引理到变指数情况，证明了在经典鞅论中若干重要不等式在变指数情况的类比，包括著名的Burkholder-Gundy-Davis 不等式，凸性引理，Chevarie 不等式以及两类被可料控制的鞅空间的等价性；在正则 σ-代数流的情况下证明了通常遇到的五类鞅空间的等价性。 我们还精确化了弱型 Doob 极大不等式，探讨了强型 Doob 极大不等式的若干变种成立的条件。此外，对于非交换拟鞅（常指数）给出了它的几种形式的不等式，若干类型空间的相互嵌入、内插及其共轭空间。. 以上成果为变指数鞅空间理论提供了一些新的基本工具和通道，是变指数鞅空间理论的一个突破。当然这仅仅是一个开端，期望有更多更深入的工作出来。