变指数函数空间及其应用

This project is a research subject on the theory of spaces in functional analysis and its applications. First we study the properties of variable exponent function spaces, including variable exponent function spaces on differential form、differential manifolds and Clifford algebras and stochastic variable exponent function spaces and their properties. Second we study the existence and uniquenaa or mutiplicity and regularity of the solutions of partial differential equations with variable growth, and a priori estimates and existence of solutions of A-harmonic euations on differential forms、differential manifolds and Clifford algebras, and the existence and regularity of solutions of stochastic partial differential equations with sochastic variable growth. We hope to devise new skills and methods to deal with problems with variable growth (including problems of partial differential equations, A-harmonic equations and stochastic partial differential equations etc.).

本项目是泛函分析的空间理论及其应用方面的研究课题。首先研究变指数函数空间的性质, 其中包括微分形式、微分流形和Clifford代数等上的变指数函数空间和随机变指数函数空间的定义及其空间性质。其次研究具变量增长的偏微分方程解的存在性和唯一性或多重性以及正则性，具变量增长微分形式上、微分流形上和Clifford代数上的A-调和方程解的估计和存在性，具随机变量增长的随机偏微分方程解的存在性和正则性等问题。希望通过本项目的研究发现处理具变量增长问题（如偏微分方程，A-调和方程，随机偏微分方程等问题）的新手段和新方法。

本项目研究了变指数函数空间相关的几类函数空间及其应用。首先在变指数函数空间及其性质方面，建立了Clifford代数上的变指数Lebesgue空间和Sobolev空间等变指数函数空间的各种空间性质，建立了抽象随机变指数函数空间上的Malliavin导数及其性质。其次在变指数函数空间应用方面，开拓变指数Lebesgue空间和Sobolev空间在具变量增长偏微分方程上的研究，得到了解的存在性和奇性可去性等方面的一批结果，同时得到了Clifford代数上具变量增长的A-Dirac方程和Stokes方程以及Navier-Stokes方程解的存在性方面的一些结果。另外在完全非线性Hessian方程方面，利用上下解方法，得到了给定无穷远处性态的Hessian方程粘性解的存在性，推广了关于k-Hessian方程的相应结果；在分数阶偏微分方程方面，得到了次线性分数阶p-Laplace方程解的多重性和次临界分数阶Laplace方程解的多重性，利用位势井方法得到了空间分数阶扩散方程和波方程解的存在性、爆破和真空隔离性。