鞅论及其在泛函空间理论与调和分析中的应用

本项目是泛函分析与调和分析、随机过程理论交叉的研究课题，目的在于进一步开发弱型鞅空间（主要是Lorentz鞅空间与Orlicz鞅空间）的理论及其应用，它们是经典的Hardy鞅空间理论的延伸和扩展，是近年来国际上热门的研究课题。内容包括：各种弱型空间原子分解的存在性，空间的同构问题，共轭空间的表现，弱空间上次线性或拟线性算子的有界性，空间与算子的内插，权函数与加权不等式，空间的拓扑与几何分类等，同时对近年来兴起的非交换鞅进行开发研究。与经典鞅论不同，本项目涉及到的空间大都是拟赋范空间，有些是非局部凸空间，它们范围广、性质差，必需开拓新的研究方法。有关成果不仅使经典理论更臻于完善，而且将推进诸如非局部凸空间、一般重排不变函数空间、内插与加权函数空间乃至金融数学等应用学科中相关问题的研究。

本项目是泛函分析、调和分析与随机过程理论交叉的研究课题，目的在于进一步开发弱型鞅空间（主要是强弱Orlicz空间，强弱Lorentz空间）及其在调和分析、非交换鞅理论中的应用，它们是Hardy鞅空间理论的延伸和扩展。几年来我们紧紧围绕研究计划开展研究，在课题组全体成员的共同努力下，先后在国际和国内重要学术刊物发表学术论文27篇，主要成果体现为四个方面：（1）弱型Orlicz鞅空间及其相互关系的研究, 包括经典的Doob不等式、Burkholder-Gandy- Davis不等式的弱型空间类比以及它们在函数空间调和分析理论中的应用；（2）Orlicz鞅类中若干算子的强型和弱型加权不等式；（3）在非交换鞅论中的应用；（4）在调和分析理论中的应用。这四个方面也正是本项研究计划中的四个要点。在每个方面都有较为深入的、创新性的成果呈现，基本上实现了预计的目标。特别地，与经典鞅论不同，本项目涉及到的空间大都是范围广、性质差的空间，也是被经典理论边缘化了的空间，需要开拓新的研究方法。有关结果不仅进一步完善了经典理论，而且对于重排不变函数空间、内插与加权函数空间，乃至调和分析理论中的某些问题都具有借鉴作用。. 关于研究内容的调整，需要指出的有两点：（1）由于本项目是以往同名项目工作的继续，本项目成果包含了上次项目未列入的2010年的几篇论文，内容是完全衔接的。（2）对于上述第四方面的内容，由于我们派遣了青年教师和在读博士研究生出国到西班牙马德里自治大学跟Torrea院士学习调和分析，他们接受了包括Schrodinger算子在内的若干类型分数阶算子的正规性质的研究课题，共同发表了文章，这一部分研究成果得到很大加强。这是超出原计划预期的。