几类变指数函数空间及其应用

This project is a research subject on the theory of spaces in functional analysis and its applications. First, we study the properties of variable exponent function spaces, including properties of unbounded variable exponent function spaces on differential form、differential manifolds and Clifford algebras and definition and properties of variable exponent function spaces of fractional order. Second, we study the existence and uniqueness or mutiplicity and regularity of the solutions of partial differential equations with unbounded variable growth and fractional order elliptic partial differential equations with variable growth, including a priori estimates and existence of solutions of A-harmonic euations with unbounded variable growth on differential forms、differential manifolds and Clifford algebras. We hope to devise new skills and methods to deal with problems with unbounded variable growth (including problems of partial differential equations, A-harmonic equations etc.) and fractional order elliptic problems with variable growth.

本项目是泛函分析的空间理论及其应用方面的研究课题。首先研究变指数函数空间的性质, 其中包括微分形式、微分流形和Clifford代数等上的无界变指数函数空间和分数阶变指数函数空间的定义和性质。其次研究具无界变指数增长的偏微分方程和分数阶变指数增长椭圆型偏微分方程解的存在性和唯一性或多重性以及正则性，其中包括具无界变指数增长微分形式上、微分流形上和Clifford代数上的A-调和方程解的估计和存在性。希望通过本项目的研究发现处理具无界变指数增长问题（如偏微分方程，A-调和方程等问题）和分数阶变指数增长椭圆问题的新手段和新方法。

本项目主要研究了变指数函数空间相关的几类函数空间及其应用。首先在具变量增长变分数阶Sobolev空间及其应用方面：建立了具变量增长变分数阶Sobolev空间，得到了空间的若干基本性质，作为应用得到具变量增长变分数阶Laplace方程解的存在性。在变指数函数空间框架下得到了具临界变量增长椭圆方程非线性边值问题解的存在性，应用Galerkin方法和变指数函数空间中的Young测度得到了具变指数增长抛物型方程解的存在性。其次在高阶椭圆方程解的多重性与可去奇性方面：研究了一类p-双调和方程在有界区域上解的多重性，在超线性次临界的情形得到无穷多解的存在性，在临界情形也得到多个解的存在性。利用分歧定理和极小极大原理得到在无穷远处具超线性增长在零点具鞍点结构的四阶双调和方程三解的存在性。利用Moser迭代得到四阶具变指数增长椭圆方程弱解孤立奇点的可去性。然后在分数阶发展方程方面：研究了几类含分数阶Laplace 算子的有界区域上的非线性波动方程和随机反应扩散方程，应用Galerkin方法或算子半群方法得到系统弱解的存在唯一性，然后得到系统对应的最优控制问题的最优控制的存在性。研究了几类时空均为分数阶导数的非线性反应扩散方程，应用Galerkin方法或算子半群方法得到弱解的存在性、正则性和渐近性等性质。最后在Riemann流形上的增量次梯度方法及其收敛性方面：建立了求解Riemann流形上的由若干分量函数和构成的大规模无约束凸优化问题的增量次梯度方法，研究了该方法对非负截面曲率Riemann流形在缩减步长法则下的收敛性质。构造了具下有界截面曲率的Riemann流形上大规模约束凸优化问题的基于路径的增量目标层算法，证明了在动态步长法则下该方法的收敛性质。