哈密顿系统Maslov型指标与辛容量的研究

Firstly, we will study the Maslov type index theory of Homoclinic orbit. Homoclinic orbits play an important role in analyzing the chaos of Hamiltonian systems. We will study the Maslov type index theory of Homoclinic orbit without compact embeddedness, in order to providing a new way for the research of homoclinic orbits. Secondly, we will study the theory and applications of Symplectic Capacity. Symplectic Capacity is an improtant invariant in Symplectic Geometry. In the previous work, we introduced the concept of Symmetrical Symplectic Capacity and generalized the result of Rabinowitz in 1987. We will study the finitness of our Symmetrical Symplectic Capacity on non-flat space and consider the applications on brake orbits. Lastly, we will generalize the concept of Maslov type index and Symmetrical Symplectic Capacity into infinite dimensional Hamiltonian systems and consider the applications on Hamiltonian PDEs. The three problems studied in this project have great significance in nonlinear analysis, symplectic geometry， dynamical systems and differential equations.

首先，研究哈密顿系统同宿轨Maslov型指标理论. 同宿轨是哈密顿系统中一类重要的问题,与混沌有着密切的关系．在缺少紧嵌入的条件下研究同宿轨的指标理论，为同宿轨提供新的研究方法. 其次，研究辛容量的理论及其应用．辛容量是辛几何中重要的不变量. 在前期的研究中，我们定义了对称辛容量的概念，推广了Rabinowitz 1987年的结果．我们将深入的研究对称辛容量在非平坦空间上的有限性，并将其应用在哈密顿系统闸轨道的研究中．最后， 将Maslov型指标与对称辛容量推广到无穷维哈密顿系统，并应用于相应的偏微分方程. 本项目的上述三个研究内容对于非线性分析、辛几何、动力系统以及微分方程等方面具有重要的意义.

我们的研究成果有两个方面。..首先，我们将已有的指标理论应用在抽象的自伴算子方程中，要求该自伴算子具有紧预解式，因此而得到了延迟微分系统周期解的存在性和一类无穷维哈密顿系统周期解的存在性。..其次，我们将已有的指标理理论推广到了自伴算子不具有紧预解式的算子方程中，作为应用，我们得到了波动方程和梁方程的周期解的存在性和多重性。