哈密顿系统与随机哈密顿系统多辛几何算法研究

本项目对于一般多辛哈密顿系统，构造其(显式)多辛几何算法，对其进行后延误差分析等理论研究，并分析其在保持守恒律方面的误差精度。研究基于不同的空间离散方法(如紧致差分、(拟)谱方法、有限体积法、有限元法等离散形式)下，多辛几何算法在长时间模拟、实现难易程度、边界处理等方面的优缺点。研究不同网格条件下多辛几何算法所保持的多辛几何结构。并对于一些具体的孤立波方程构造显式高精度的多辛几何算法，并分析其数值行为。进一步，以随机哈密顿系统辛几何结构为理论基础，建立随机哈密顿系统的多辛几何结构理论框架，并构造随机多辛几何算法保持这一几何结构，同时保持随机哈密顿系统其他各种具有实际意义的物理守恒量等。对随机多辛几何算法进行理论分析，如强(弱)收敛意义下的收敛性，误差精度，稳定性分析，计算机实现等。并与已有的一般数值方法进行大量数值实验比较，分析其各自优缺点及验证多辛几何算法在长时间数值模拟中的优势。

本项目旨在对于多辛哈密顿系统，构造其显式多辛几何算法，并进行相关的误差、守恒量等的理论分析。研究不同的空间离散方法（如紧致方法、拟谱方法等），以及时间不同离散形式下所构造的数值格式的优缺点。分析多辛几何算法在长时间数值模拟、物理量守恒、以及几何结构保持方面的优势。对于具体的无穷维哈密顿系统构造新的高阶显式格式，进一步以随机哈密顿系统的辛几何结构为理论基础，提出随机哈密顿系统的多辛几何结构理论框架，给出其重要证明定理。并在此基础上，构造随机多辛几何算法，分析其在保持守恒量和物理量方面的优势。对随机偏微分方程数值模拟方面提出了新的研究思路。