球面设计的推广及其区间闭包的研究与应用

As a kind of point system defined by the equal weight quadrature rule, spherical designs perform well in varieties of numerical computation problems. Currently, the existence of spherical designs has been proved by computed-proof method and a series of sets of interval enclosures containing spherical designs could be obtained. However, the exact location of spherical designs still could not be obtained in most cases. Based on current results, in this project we will continue to study on the sets of interval enclosures containing spherical designs. We will propose a generalization concept of spherical designs. Through the generalized concept we will investigate the properties of point sets arbitrarily chosen in the sets of interval enclosures of spherical designs. We will verify that those point sets are generalized spherical designs to theoretically guarantee that they can be applied instead in real problems in the case that the exact location of spherical designs is unknow. In the same time, we will discuss the approximation quality of generalized spherical designs when applied in numerical integration on the sphere, and apply them to the first order regularization polynomial approximation problems. we will also propose some numerical results to support our theory.

球面设计作为一种由等权数值积分规则确定的点集系统，在数值积分、逼近和插值等许多计算问题中都具有良好的性能. 球面设计在一般条件下的存在性可以通过计算辅助的方式进行证明，并可得出其存在于球面上的一系列非常小的区间集合中，但在一般情形下其解析形式至今仍未得到解答，这一问题导致了球面设计在实际应用时具有的一定局限性. 本项目将基于现有成果，对包含球面设计的区间集合开展进一步的研究，我们将提出一个相较于球面设计更为广义的概念，通过这一概念我们将研究球面设计的区间闭包集合内任意点集的性质，验证此类点集是否属于广义球面设计，并为其在实际应用中作为球面设计的近似替代给出理论保证. 同时，我们还将讨论广义球面设计在应用于球面上的数值积分问题中的性能表现，讨论其在应用于一阶正则化多项式逼近问题中模型的建立与求解，并给出相应的理论结果和数值实验依据.

球面设计是一种有球面数值积分问题产生的，等权、多项式精度等特点的求积规则的节点. 它作为一种由等权数值积分规则确定的点集系统，在数值积分、逼近和插值等许多计算问题中都具有良好的性能. 球面设计在一般条件下的存在性可以通过计算辅助的方式进行证明，并可得出其存在于球面上的一系列非常小的区间集合中，但在一般情形下其解析形式至今仍未得到解答，这一问题导致了球面设计在实际应用时具有的一定局限性. 本项目基于现有成果，对包含球面设计的区间集合开展了进一步的研究，提出了球面t_\epsilon-设计的概念，通过研究对这一新概念与球面设计的区间闭包集合内任意点集的性质，验证了其闭包内的任意点集都是属于此类广义球面设计，并推导出了球面t_\epsilon-设计在数值积分中的最坏情形误差，为其在实际应用中作为球面设计的近似替代给出了理论保证. 同时，我们还讨论了球面t_\epsilon-设计在应用于球面上的数值积分问题中的性能表现，讨论了其在应用于一阶正则化多项式逼近问题中模型的建立与求解，并给出了相应的理论结果和数值实验依据.