二维黎曼和Finsler球面上的闭测地线

The problem of closed geodesics on a two dimensional Riemann and Finsler sphere is an important problem in mathematics. Since the free loop spaces on spheres do not satisfy the Gromoll-Meyer condition, until 1993 Bangert together with Franks' work in 1992, proves that there are infinitely many different closed geodesics on every Rieman 2-sphere. Quite different from the Rieman spheres, in 1973 Katok constructs a set of nondegenerate Finsler metrics, under which the 2-sphere possesses only two distinct closed geodesics. Based on many known works, in 2006 Yiming Long conjects that there are either only two or infinitely many distinct closed geodesics on every Finsler 2-sphere. In 2017, the work of Cristofaro-Gardiner et al. implies that this conjecture is true in the nondegenerate case.. Thus in this project, the applicants intend to explore their work in depth and combine it with many classical methods, in order to find out the essential differences between Riemann metrics and Finsler metrics in the problem of closed geodesics on 2- sphere. Then we reconsider many classical results and propose an effective solution for Long's conjecture.

二维黎曼和Finsler球面上的闭测地线问题则是数学中的一个重要问题。由于球面上的自由环路空间不满足经典的Gromoll-Meyer条件，直到1993年Bangert(结合Franks1992年的工作)才证明了任意二维黎曼球面上存在无穷条不同的闭测地线。与之不同的是，Katok1973年构造了一组非退化的Finsler度量，使得相应球面上只有两条不同的闭测地线。2006年，基于若干已知的结果龙以明提出一个重要猜测：任意二维Finsler球面或者只有两条、或者有无穷条不同的闭测地线。而Cristofaro-Gardiner等人2017年的工作表明在非退化条件下此猜测是正确的。. 申请人希望深入研究他们的工作并与经典方法相结合，找出黎曼度量与Finsler度量在闭测地线问题中的根本区别，重新考虑若干经典结果并为龙以明猜测提出有效的解决方案。

二维黎曼和Finsler球面上的闭测地线问题则是数学中的一个重要问题。由于球面上的自由环路空间不满足经典的Gromoll-Meyer条件，直到1993年Bangert(结合ranks1992年的工作)才证明了任意二维黎曼球面上存在无穷条不同的闭测地线。与之不同的是，Katok1973年构造了一组非退化的Finsler度量，使得相应球面上只有两条不同的闭测地线。2006年，基于若干已知的结果龙以明提出一个重要猜测：任意二维Finsler球面或者只有两条、或者有无穷条不同的闭测地线。而Cristofaro-Gardiner等人2017年的工作表明在非退化条件下此猜测是正确的。项目成员深入研究他们的工作并与经典方法相结合，并得到了一些相关问题的结果。