单位球面中闭超曲面的曲率拼挤问题

Rigidity problem is an interesting class of problem in the submanifold geometry. In this application, we mainly study the second gap problem for the square norm of the second fundamental form of closed hypersurfaces in the unit sphere. We will focus on two kinds of problems. 1. For the closed hypersurfaces with constant scalar curvature and constant mean curvature, we want to prove the pinching theorem for the second gap without the assumption that the absolute value of the mean curvature is small. 2. For the closed hypersurfaces with constant scalar curvature, we want to prove the pinching theorem for the second gap without the assumption that the mean curvature is constant. For the first problem, we will follow Peng-Terng's idea which they used to study the second gap problem for minimal hypersurfaces, and we will improve the key inequalities by using the condition that the scalar curvature and the mean curvature are both constant. For the second problem, we will also consult Peng-Terng's idea to seek an appropriate geometric quantity and compute the equation of the operation on this quantity by the Cheng-Yau operator, and finally we will prove the second pinching theorem.

刚性问题是子流形几何中一类有趣的问题。本项目主要研究单位球面中闭超曲面的第二基本形式模长平方取值的第二个空隙问题。我们主要研究两方面的内容。1. 对于数量曲率和平均曲率都是常数的闭超曲面，我们希望在不假设平均曲率的绝对值很小的条件下，证明关于第二个空隙的拼挤定理。2. 对于具有常数量曲率的闭超曲面，我们希望在不假设平均曲率是常数的条件下，证明关于第二个空隙的拼挤定理。对于第一个问题，我们将沿用Peng-Terng研究极小超曲面第二个空隙问题时的思路，利用数量曲率和平均曲率都是常数的条件，对关键不等式作改进。对于第二个问题，我们仍将参照Peng-Terng的思路，寻找合适的几何量，计算这个几何量在Cheng-Yau算子作用下的方程，并由此证明第二拼挤定理。

本项目主要研究单位球面中闭超曲面的第二基本形式模长平方取值的第二个空隙问题。我们主要研究两方面的内容。1. 对于数量曲率和平均曲率都是常数的闭超曲面，我们希望在不假设平均曲率的绝对值有上界的条件下，证明关于第二个空隙的拼挤定理。2. 对于具有常数量曲率的闭超曲面，我们希望在不假设平均曲率是常数的条件下，证明关于第二个空隙的拼挤定理。对于第一个问题，我们沿用Peng-Terng研究极小超曲面第二个空隙问题时的思路，得到一个积分不等式，但未能得到拼挤定理。有例子表明平均曲率的绝对值有上界的条件可能是必要的。对于第二个问题，我们计算了平均曲率、第二基本形式模长平方等几何量在Cheng-Yau算子作用下的方程，但未能找到合适的方法处理含有梯度的项，未能得到拼挤定理。此外，本项目还开展了软件工程中可满足性模理论的相关研究，着重考虑实数线性算术理论域的解空间体积计算问题，提出了一种效率较优的算法。